《2025年1课3练江苏人民出版社七年级数学下册人教版》

7 如图，已知CD是△ABC的高，∠1=∠ACB，∠2=∠3.
(1)∠2与∠DCB相等吗？为什么？
(2)判断FH与AB的位置关系，并说明理由.

答案：
(1)$\angle 2=\angle DCB$.理由如下：
$\because\angle 1=\angle ACB$，$\therefore DE// BC$.$\therefore\angle 2=\angle DCB$.
(2)$FH\perp AB$.理由如下：
$\because\angle 2=\angle 3$，$\angle 2=\angle DCB$，$\therefore\angle 3=\angle DCB$.
$\therefore CD// FH$.$\therefore\angle BDC=\angle BHF$.
又$CD$是$\triangle ABC$的高，$\therefore CD\perp AB$.
$\therefore\angle BHF=\angle BDC = 90^{\circ}$.$\therefore FH\perp AB$.

8 如图，MN//BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，BD是∠ABC的平分线.
(1)AB与DE平行吗？请说明理由.
(2)试说明：∠ABC=∠C.
(3)试说明：DC是∠NDE的平分线.

答案：
(1)$AB// DE$.理由如下：
$\because MN// BC$，$\therefore\angle ABC=\angle 1 = 60^{\circ}$.
$\because\angle 1=\angle 2$，$\therefore\angle ABC=\angle 2$，$\therefore AB// DE$.
(2)$\because BD$是$\angle ABC$的平分线，$\angle ABC = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$.
$\because BD\perp DC$，$\therefore\angle BDC = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle C = 180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore\angle ABC=\angle C$.
(3)$\because AB// DE$，$MN// BC$，
$\therefore\angle ADE=\angle 1 = 60^{\circ}$，$\angle NDC=\angle C = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle CDE = 180^{\circ}-\angle ADE-\angle NDC = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，$\therefore\angle CDE=\angle NDC$，
$\therefore DC$是$\angle NDE$的平分线.

9 中考新考法 满足条件的结论开放 (2024·广东中山期末)
如图(1)，线段AB//CD，P为线段AC上一动点(不与点A，C重合).分别连接BP，DP.过点P作∠BPD的平分线PE，在线段AC的右侧作PF//CD.
(1)如图(2)，当PE与PF重合时，试说明：∠B=∠D；
(2)当PE与PF不重合时，探索∠B，∠D，∠EPF之间的数量关系并说明理由.

答案：

(1)$\because AB// CD$，$PF// CD$，
$\therefore PF// AB$，$\angle D=\angle DPF$，
$\therefore\angle B=\angle BPF$.
$\because PE$是$\angle BPD$的平分线，且$PF$与$PE$重合，
$\therefore\angle BPF=\angle DPF$，$\therefore\angle B=\angle D$.
(2)当$CP＞AP$时，如图
(1).

$\because AB// CD$，$PF// CD$，
$\therefore PF// AB$，$\angle D=\angle DPF$，$\therefore\angle B=\angle BPF$.
$\because PE$是$\angle BPD$的平分线，$\therefore\angle BPE=\angle DPE$.
$\because\angle DPE=\angle DPF-\angle EPF$，$\angle BPE=\angle BPF+\angle EPF$，
$\therefore\angle DPE=\angle D-\angle EPF$，$\angle BPE=\angle B+\angle EPF$，
$\therefore\angle D-\angle EPF=\angle B+\angle EPF$，
$\therefore\angle D-\angle B=\angle EPF+\angle EPF = 2\angle EPF$，
即$\angle D-\angle B = 2\angle EPF$；
当$CP＜AP$时，如图
(2).

$\because AB// CD$，$PF// CD$，
$\therefore PF// AB$，$\angle D=\angle DPF$，$\therefore\angle B=\angle BPF$.
$\because PE$是$\angle BPD$的平分线，$\therefore\angle BPE=\angle DPE$.
$\because\angle DPE=\angle DPF+\angle EPF$，$\angle BPE=\angle BPF-\angle EPF$，$\therefore\angle DPE=\angle D+\angle EPF$，$\angle BPE=\angle B-\angle EPF$，$\therefore\angle D+\angle EPF=\angle B-\angle EPF$，
$\therefore\angle B-\angle D=\angle EPF+\angle EPF = 2\angle EPF$，
即$\angle B-\angle D = 2\angle EPF$.
综上，当$PF$与$PE$不重合时，$\angle D-\angle B = 2\angle EPF$或$\angle B-\angle D = 2\angle EPF$.