《2025年1课3练江苏人民出版社七年级数学下册人教版》

8 如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB//CD.
(1)若BC平分∠ABD，∠D=100°，求∠ABC的度数；
(2)若∠1=∠2，试说明：AE//FG.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵AB//CD，
∴∠ABD + ∠D = 180°.
∵∠D = 100°，
∴∠ABD = 180° - 100° = 80°.
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABD = 40°.
(2)
∵AB//CD，
∴∠1 = ∠FGC.
∵∠1 = ∠2，
∴∠2 = ∠FGC，
∴AE//FG.

9 如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°.
(1)试说明：AB//CD；
(2)求∠C的度数.
　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE//FG，
∴∠2 = ∠A.
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 = ∠A，
∴AB//CD.
(2)
∵AB//CD，
∴∠D + ∠CBD + ∠3 = 180°.
∵∠D = ∠3 + 60°，∠CBD = 70°，
∴∠3 + 60° + 70° + ∠3 = 180°，
∴∠3 = 25°.
∵AB//CD，
∴∠C = ∠3 = 25°.

10 如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD.
(1)试说明：CE//GF；
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(3)若∠EHF=80°，∠D=30°，求∠AEM的度数.
　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵∠CED = ∠GHD，
∴CE//GF.
(2)∠AED + ∠D = 180°. 理由如下：
∵CE//GF，
∴∠C = ∠FGD.
又∠C = ∠EFG，
∴∠FGD = ∠EFG，
∴AB//CD，
∴∠AED + ∠D = 180°.
(3)
∵∠GHD = ∠EHF = 80°，∠D = 30°，
∴∠HGD = 180° - ∠D - ∠GHD = 70°.
∵CE//GF，
∴∠C = ∠HGD = 70°.
∵AB//CD，
∴∠AEC = ∠C = 70°，
∴∠AEM = 180° - ∠AEC = 180° - 70° = 110°.
一题多解 第
(3)小问还可以用另一种方法解答.
∵∠EHF = 80°，
∴∠GHD = 80°.
∵CE//GF，
∴∠CED = ∠GHD = 80°.
∵∠AED + ∠D = 180°，∠D = 30°，
∴∠AEC = 180° - 30° - 80° = 70°，
∴∠AEM = 180° - 70° = 110°.

11 (2024·浙江湖州期中)已知AB//CD，EF//GH，E，G是AB上的点，F，H是CD上的点.
(1)如图(1)，过点F作FM⊥GH交GH的延长线于点M，作∠BEF，∠DFM的平分线交于点N，EN交GH于点P，试说明：∠N=45°；
(2)如图(2)，在(1)的条件下，作∠AGH的平分线交CD于点Q，若3∠FEN=4∠HFM，直接写出$\frac{∠GQH}{∠MPN}$的值.
　　　　　　　　　　

答案：

(1)如图，过点N作NK//CD.

∵AB//CD，
∴KN//CD//AB，
∴∠KNE = ∠4，∠6 = ∠7.
设∠4 = x，∠7 = y.
∵EN，FN分别平分∠BEF，∠DFM，
∴∠KNE = ∠4 = ∠5 = x，∠6 = ∠7 = ∠8 = y.
∵AB//CD，
∴∠EFD = 180° - (∠4 + ∠5) = 180° - 2x.
∵FM⊥GH，EF//GH，
∴FM⊥EF，
∴∠EFM = 90°，
∴180° - 2x + 2y = 90°，
∴x - y = 45°，
∴∠ENF = ∠KNE - ∠6 = x - y = 45°.
(2)$\frac{∠GQH}{∠MPN}=\frac{1}{4}$. 理由如下：
∵3∠FEN = 4∠HFM，即3x = 4×2y，
∴x = $\frac{8}{3}$y，
∴x - y = $\frac{8}{3}$y - y = 45°，
∴y = 27°，
∴x = 72°.
∵EF//GH，EN和GQ分别是∠BEF，∠AGH的平分线，
∴∠FEG + ∠EGH = 180°，∠GEN = $\frac{1}{2}$∠FEG，∠EGQ = $\frac{1}{2}$∠EGH，
∴∠GEN + ∠EGQ = 90°.
∵∠GEN = x = 72°，
∴∠GQH = ∠EGQ = 90° - 72° = 18°.
∵EF//GH，
∴∠MPN = ∠FEN = x = 72°，
∴$\frac{∠GQH}{∠MPN}=\frac{1}{4}$.