《2025年1课3练江苏人民出版社七年级数学下册人教版》

15 中考新考法 解题方法型阅读理解题 (2024·天津期中)
阅读下面的文字，解答问题：
例如：$\because\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
$\therefore\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$.
请解答：
(1)$\sqrt{13}$的整数部分是________，小数部分是________．
(2)已知$1+\sqrt{17}$的整数部分是m，$1+\sqrt{17}$的小数部分是n．
①求m，n的值；
②若$(x - 1)^2=4m + n-\sqrt{17}$，请求出满足条件的x的值.

答案：
(1)3 $\sqrt{13}-3$
(2)①
∵16＜17＜25，
∴4＜$\sqrt{17}$＜5，
∴5＜1 + $\sqrt{17}$＜6，
∴1 + $\sqrt{17}$的整数部分是5，小数部分是1 + $\sqrt{17}-5=\sqrt{17}-4$，
∴m = 5，n = $\sqrt{17}-4$.
②
∵m = 5，n = $\sqrt{17}-4$，
∴(x - 1)² = 4×5 + $\sqrt{17}-4-\sqrt{17}$，
∴(x - 1)² = 16，
∴x - 1 = ±4，
∴x = 5或 -3.

16 中考新考法 新定义问题 高斯记号$[x]$表示不超过x的最大整数，即若有整数n满足$n\leqslant x＜ n + 1$，则$[x]=n$．
如：$[1.56]=1$，$[-3.25]=-4$．
(1)$[79]$的值等于________；
(2)若b是整数，求证：$[a + b]=[a]+b$；
(3)若$[\sqrt{m}-8 + n]+[\sqrt{m}+3 - n]=[\sqrt{129}]$，且m，n都为整数，求m的最小值和最大值.

答案：
(1)79 [解析]
∵79≤79＜80，
∴[79] = 79.
(2)设n≤a＜n + 1，则[a] = n，
∴[a]+b = n + b.
∵b是整数，
∴[a + b] = n + b，
∴[a + b] = [a]+b.
(3)设k≤$\sqrt{m}$＜k + 1，则[$\sqrt{m}$] = k.
∵11²＜129＜12²，
∴11＜$\sqrt{129}$＜12.
由[$\sqrt{m}-8 + n$]+[$\sqrt{m}+3 - n$] = [$\sqrt{129}$]，得
(k - 8 + n)+(k + 3 - n) = 11，解得k = 8，
∴8≤$\sqrt{m}$＜9，
∴64≤m＜81.
∵m是整数，
∴m的最小值为64，最大值为80.

17 中考新考法 类比探究 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59 319的立方根. 华罗庚对其结果脱口而出. 众人十分惊奇，忙问计算的奥妙. 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗? 请你按下面的问题试一试.
(1)$10^3 = 1 000$，$100^3 = 1 000 000$，你能确定59 319的立方根是几位数吗?
(2)由59 319的个位数字是9，你能确定59 319的立方根的个位数字是几吗?
(3)如果划去59 319后面的三位319得到数59，而$3^3 = 27$，$4^3 = 64$，由此你能确定59 319的立方根的十位数字是几吗? 则59 319的立方根是多少?
(4)现在换一个数148 877，你能按这种方法说出它的立方根吗?
①它的立方根是________位数；
②它的立方根的个位数字是________；
③它的立方根的十位数字是________；
④148 877的立方根是________．

答案：
(1)因为1 000＜59 319＜1 000 000，
所以59 319的立方根是两位数.
(2)因为9×9×9 = 729，
所以59 319的立方根的个位数字是9.
(3)因为27＜59＜64，
所以59 319的立方根的十位数字是3，
所以59 319的立方根是39.
(4)①两 [解析]因为1 000＜148 877＜1 000 000，
所以148 877的立方根是两位数.
②3 [解析]因为3×3×3 = 27，所以148 877的立方根的个位数字是3.
③5 [解析]因为125＜148＜216，所以148 877的立方根的十位数字是5.
④53 [解析]148 877的立方根是53.