《2024年培优新方法五年级数学人教版》

例题求解
例1 张明与李芳从相距100米的两地同时同向行走，李芳走在前面，每分钟走45米，张明走在后面，每分钟走65米，3分钟后，两人还相隔多少米？
思路点拨 3分钟后，张明与李芳的路程差距减少了(65 - 45)×3 = 60(米)，两人还相隔多少就不言而喻了。

答案： 例1 （65 - 45）×3 = 60（米），两人还相隔100 - 60 = 40（米）.

例2 有人沿公路前进，对面来了一辆汽车.他问汽车司机：“后面有自行车吗?”司机回答说：“10分钟前我超过了一辆自行车.”这人继续走了10分钟，遇到自行车.已知自行车速度是人步行速度的3倍.求汽车的速度是人步行速度的多少倍.
思路点拨 10分钟前汽车超过一辆自行车，表示汽车与人相遇时，自行车也已经行驶了10分钟.设人的速度为1，汽车速度为x，由题意不难列出方程.

答案： 例2 设人的速度为1，自行车速度为3，汽车速度为x. 10x =（1 + 3 + 3）×10，x = 7.

例3 两条公路成十字交叉，甲从十字路口正南1200米处向正北直行，乙从十字路口处向正东直行.甲、乙两人同时出发10分钟后，两人所在处与十字路口的距离相等；出发60分钟后，两人所在处与十字路口的距离再次相等.此时他们距十字路口多少米？
思路点拨 由第一个条件可理解为两人在南北方向上相遇，得到速度和；由第二个条件可理解为由南向北追及，得到速度差.从和差公式得到两人的速度，提问就自然地解答了.

答案： 例3 1200÷10 = 120（米/分）……速度和，1200÷60 = 20（米/分）……速度差.
（120 - 20）÷2 = 50（米/分），50×60 = 3000（米）.

例4 甲、乙两人在周长400米的环形跑道上练习竞走.若两人同时从起点出发，反向走2分钟则相遇.若两人同时从起点出发同向而行，则10分钟后甲追上乙.求甲、乙两人的速度.
思路点拨 从反向走求出两人的速度和，从同向走求出两人的速度差，由和差问题求出两人速度.

答案： 例4 400÷2 = 200（米/分）……速度和，400÷10 = 40（米/分）……速度差，（200 + 40）÷2 = 120（米/分），120 - 40 = 80（米/分）.故甲的速度每分钟120米，乙的速度每分钟80米.

例5 甲、乙两人在500米的环形跑道上跑步.两人朝相反方向跑，两人第一次和第二次相遇间隔50秒.已知甲每秒跑6米，求乙的速度.
思路点拨 两人朝相反方向跑，实则是直线上的相遇问题.第一次和第二次相遇间隔50秒，也就是两人同时从两地相向而行50秒相遇.先求出速度和，也立即可求出乙的速度了.
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环形上的两人反向走，实则是直线上的相遇；同时同地的环形同向走，实则是直线上的追及，路程差恰为一个环形周长.

答案： 例5 500÷50 - 6 = 4（米/秒）.

例6 甲、乙、丙三辆玩具车在环形跑道上同时沿逆时针方向运动.已知甲于第10秒时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，求乙从出发到第一次追上丙用了多少时间.
思路点拨 甲在第10秒与第60秒两次追上乙，这中间经过50秒，正好是甲比乙多走一圈的时间，由此可求出甲、乙的速度差；类比可求出甲、丙的速度差.综合以上就得出乙与丙的速度差.通过甲与乙、甲与丙原来相距路程，很快就得到乙与丙原来的路程差.最后由路程差除以速度差，得到乙追丙的时间.

答案： 例6 甲追乙多走一圈用时：60 - 10 = 50（秒），甲与乙的速度差1÷50 = 0.02.
甲追丙多走一圈时间：70 - 30 = 40（秒），甲与丙的速度差：1÷40 = 0.025.
乙与丙的速度差：0.025 - 0.02 = 0.005.
甲与乙原来相距：10×0.02 = 0.2，甲与丙原来相距：30×0.025 = 0.75，
乙与丙原来相距：0.75 - 0.2 = 0.55.
乙追丙用时：0.55÷0.005 = 110（秒）.

例7 一个圆周长80厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时同向爬行.甲以每秒5厘米的速度不停地爬行；乙爬行10厘米后，立即反向爬行，并且速度增加了1倍，在离出发点40厘米处与甲相遇，求爬虫乙原来的速度是多少.
思路点拨 甲、乙不停地行走，故时间是相同的，故先求出甲行走总时间.乙速度增加1倍，相当于用原速度行走的距离比其减少了一半，最后用总路程除以总时间，得到乙原来的速度.
学力训练
基础夯实

答案： 例7 （80 - 40）÷5 = 8（秒），[10 +（10 + 40）÷2]÷8 =（4.375厘米/秒）.