《2024年培优新方法五年级数学人教版》

7. 两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，这两个数各是多少?

答案： 2940÷42=70=1×70=2×35=7×10=5×14,经试算:42×7=294,42×10=420,且294+420=714(符合题意).这两个数是294和420.

8. 已知两个自然数的和为104055，它们的最大公因数是6937，求这两个数.

答案： 104055=6937×15=6937×(1+14)=6937×(2+13)=6937×(4+11)=6937×(7+8),
共有四组解:{66993377××114==69937711,8,{66993377××213==1390871481,,{66993377××411==2777643807,,{66993377××78==4585545996.,

9. 已知甲、乙两数的比为5∶3，并且它们的最大公因数与最小公倍数的和是1040，求甲数和乙数.

答案： (甲,乙)=(5,3)=1,[甲,乙]=[5,3]=15,1040÷(1+15)=65,甲数是:65×5=325,乙数是:65×3=195.

10. 两个数的差是48，最小公倍数是60，求这两个数.

答案： 令这两个自然数为a,b,(a,b)=m,a=mq1,b=mq2,q1与q2互质且a＞b,[a,b]=mq1q2,则a−b=mq1−mq2=m(q1−q2)=48,[a,b]=mq1q2=60,由上述可知:m为60与48的公因数,(60,48)=12,m只可能为1,2,3,4,6,12,当m为1,2,3,4,6时,均不合题意;当m=12 时,q1−q2=4,q1q2=5,则q=5,q2=1,故a=12×5=60,b=12×1=12.

11. 在被除数小于100的条件下，在方格中填上适当的数.
□÷□=4……4
□÷□=5……5
□÷□=6……6

答案： 由被除数=除数×4+4=4(除数+1)
=除数×5+5=5(除数+1)
=除数×6+6=6(除数+1)
由上可见，被除数是4,5,6的公倍数，[4,5,6]=60,当被除数是60时，
(1)除数+1=15,除数=14;
(2)除数+1=12,除数=11;
(3)除数+1=10,除数=9,
14=4……4,
则60÷1=5……5,
=..…...
{

12. 两个数的差是30，它们的最小公倍数和最大公因数的差是450，求这两个数.

答案： 设两个数是a,b,(a,b)=m,a=mq1,b=mq2,q1与q2互质且a＞b,[a,b]=mq1q2,a−b=
mq1−mq2=m(q1−q2)=30,[a,b]−(a,b)=mq1q2−m=m(qiq2−1)=450,m必为30与450 的因数,(30,450)=30,m可能取值为1,2,3,5,6,10,15,30.
(1)当a与b互质时,即m=1,q1−q2=30,qiq2−1=450,q1=41,q2=11.这两个数是41和11.
(2)当a与b不互质时,m为2,3时均不成立，且m为6,10,15,30时均不成立;当m=5时，q1−q2=6,q1q2−1=90,则q1=13,q2=7,a=5×13=65,b=5×7=35.这两个数是65和35.