《2024年培优新方法五年级数学人教版》

15. 如图15 - 2，正方形ABCD边长是90米，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分钟行40米，乙顺时针每分钟行20米.两人第二次在某顶点相遇，则此次相遇是两人出发后的第几次相遇？

答案： 每次相遇时间：$90\times4\div(20 + 40)=6$（分），$20\times6 = 120$（米）.乙每次相遇点：120，240，360，480，600，720……第六次相遇于 $A$ 点.

16. 一辆货车和一辆客车从A，B两地出发相向而行.货车每小时行48千米，客车每小时行72千米.如果同时出发，两车将在距A、B中点1200米的地方相遇.实际上客车因为要等一个迟到的客人而晚出发了，结果两车仍在距离中点1200米处相遇.客车晚出发多少分钟？

答案： 货车速度：$48\times1000\div60 = 800$（米/分），客车速度：$72\times1000\div60 = 1200$（米/分）同时出发，相遇时间：$1200\times2\div(1200 - 800)=6$（分），$AB$ 相距：$(1200 + 800)\times6 = 12000$（米）.客车晚发，货车行驶时间：$(12000\div2 + 1200)\div800 = 9$（分），客车行驶时间：$(12000\div2 - 1200)\div1200 = 4$（分）.客车晚出发：$9 - 4 = 5$（分）.

17. 甲、乙两个运动员分别从相距100米的直跑道两端同时相对出发.甲以每秒6.25米，乙以每秒3.75米的速度来回匀速跑步.他们共同跑了8分30秒.在这段时间内两人多次相遇（两人同时到达同一地点）.他们最后一次相遇的地点离乙的起点有多少米？甲与乙迎面相遇多少次？甲追上乙多少次？甲与乙共相遇了多少次？

答案： 8分30秒 $= 510$（秒）.甲、乙共行一个全程的时间：$100\div(6.25 + 3.75)=10$（秒）.迎面相遇的时间是：10，30，50，70，…，510.迎面相遇次数为：$(510 - 10)\div20 + 1 = 26$（次）.乙共行 $3.75\times510 = 1912.5$（米），最后一次相遇地点离乙的起点 $200\times10 - 1912.5 = 87.5$（米）.甲追上乙一般都在第2，4，6，8，…，$2n$ 个全程.即甲要比乙多行1，3，5，7，…，$2n - 1$ 个全程.甲比乙多行1个全程时间：$100\div(6.25 - 3.75)=40$（秒）.设甲第 $m$ 次追上乙，需要时间：$40\times(2m - 1)$秒.当 $m = 6$ 时，$40\times(2\times6 - 1)=440\lt512$，若 $m = 7$ 时，$40\times(2\times7 - 1)=520\gt512$.所以甲追上乙6次，共相遇了 $6 + 26 = 32$（次）.