《2024年培优新方法五年级数学人教版》

例3 任意一个三位数连写两次所得到的六位数，一定能被7，11，13同时整除，为什么？
思路点拨 如何体现“任意一个三位数”，显然是用字母表示.三个字母连写两次得到的六位数是可以分解出题中的三个数的乘积的.

答案： 设这个三位数是$\overline{abc}$，则所得的六位数是$\overline{abcabc}$. $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times1001=\overline{abc}\times7\times11\times13$，由此可见，这个六位数一定能被7,11，13同时整除.

例4 从0，3，5，7这四个数字中任选三个数，排成能同时被2，3，5整除的三位数，这样的三位数有多少个？
思路点拨 这个三位数能被2和5同时整除(注意这种联合排列)，说明了三位数的个位数字是零，再用能被3整除的特征考虑，得到结果是不难的.

答案： 由题设知这个三位数为$\overline{ab0}$，根据能被3整除的数的特征，可知a + b + 0 = a + b是3的倍数，在剩下的3，5，7中，只能选择5和7，故这个三位数只有两种，即570和750.

例5 某校有13个兴趣小组，各组的人数如下：
|组别|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|人数|2|3|5|7|9|10|11|14|13|17|21|24|24|
一天下午，学校同时举办语文和数学两个讲座，已知有12个小组去听讲座，其中听语文讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是哪一组？
思路点拨 由“听语文讲座的人数是听数学讲座人数的6倍”知全体听讲座人数是7的倍数，并以此作突破口，进一步分析出没听讲座的是哪一组.

答案： 由题意知，全体听讲座的人数是7的倍数，13组人数经计算为160人，160÷7 = 22……6，因此留下来讨论的那组人数应该是被7除余6，由表中可见，只有13除以7余6，所以留下讨论的是第9组.

例6 已知四位数$\overline{abcd}$是11的倍数，且有b + c = a，$\overline{bc}$是完全平方数，求此四位数.
思路点拨 “$\overline{bc}$是完全平方数”是此题突破口，由于b≠0，当b，c的数字定下时，a也就定了，最后通过四位数被11整除可求出此四位数.

答案： $\overline{bc}$是完全平方数，只可能是16,25,36,49,64,81这六种情况，由b + c = a可知，$\overline{bc}$只可能是16，25,36,81这四种，即这个四位数可能是:$\overline{716d}$，$\overline{725d}$，$\overline{936d}$，$\overline{981d}$，由于四位数被11整除:
　　　(7 + 6)−(1 + d)=12−d,则d = 1.
　　　(7 + 5)−(2 + d)=10−d,则d不存在.
　　　(9 + 6)−(3 + d)=12−d,则d = 1.
　　　(9 + 1)−(8 + d)=2−d,则d = 2.
　　　故满足条件的四位数是:7161,9361,9812.