《2024年培优新方法五年级数学人教版》

例3 已知两个自然数的差为2，它们的最小公倍数与最大公因数之差为142，求这两个自然数.
思路点拨 两个相差为2的自然数必然同奇同偶，故它们的最大公因数只有两种可能性，一个是1，另一个必然是2.

答案： 两个相差为2的自然数的最大公因数只有两种可能:一个为1，一个为2.
当两个自然数互质时,1×(1+142)=1×143=11×13;当两个自然数最大公因数是2时，2×(142+2)=2×144=16×18.这两个数是11和13或者是16和18.

例4 已知两个自然数的和是60，它们的最大公因数与最小公倍数之和是84，这两个自然数各是多少?
思路点拨 分别用含有最大公因数的倍数的关系式表示出这两个自然数，并由题设条件分析出最大公因数的多种可能性，以此作突破口，求出两个自然数的值.

答案： 设这两个自然数为a,b,若(a,b)=m,则a=mq1,b=mq2,q11,q2互质.[a,b]=mq1q2.
由a+b=mq1+mq2=m(q1+q2)=60,(a,b)+[a,b]=m+mq1q2=m×(1+q1q2)=84.由上述可知m为60,84的公因数，而(60,84)=12,所以m只能取1,2,3,4,6,12六种可能性，当m取1,2,3,4,6时均不能满足m(q1+q2)=60和m(1+q1q2)=84.
当m=12时,q1+q2=60÷12=5,1+q1q2=7.
∴q1q2=6.当q1=2,q2=3时,a=12×2=24,b=12×3=36.这两个自然数分别是24 和36.

例5 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，写出一组这样的三个连续自然数.
思路点拨 写出这三个连续自然数的表达式，并通过变化找到能表示15，17，19最小公倍数的式子.

答案： 设三个连续自然数分别是n,n+1和n+2,由题意，2n,2n+2,2n+4依次能被15,17,19 整除,故2n−15,2n+2−17=2n−15,2n+4−19=2n−15也必能依次被15,17,19整除，则2n−15是15,17,19的最小公倍数.15×17×19=4845,则2n=4845+15=4860,n=
2430,2430+1=2431,2430+2=2432.

例6 已知a与b的最大公因数是10，a与c、b与c的最小公倍数都是90，满足此条件的自然数a，b，c有多少组?
思路点拨 先分析a，b的几种可能性，并在此基础上分析c的取值，由乘法原理可得出满足条件的组数.

答案： 由题意知a,b中必有一个为10,另一个为10,30或90,共有五种可能:
(1)a=10,b=10;
(2)a=10,b=30;
(3)a=10,b=90;
(4)a=30,b=10;
(5)a=90,b=10.对于a,b五组值,c可取9,18,45或90,因此a,b,c的不同取值共有5×4=20(组).