《2024年培优新方法五年级数学人教版》

例3 黑板上写着一串数：1，2，3，4，5，…，2003，请你任意擦去几个数，并写上被擦去这些数相加的和被11除所得的余数。例如：擦去8，9，10，那么应写上(8＋9＋10)÷11的余数是5。这样操作下去，一直到最后黑板上只剩下一个一位数，它是________。
思路点拨 擦1个数，擦2个数……看看这些操作对结果有什么影响。

答案： (1 + 2 + 3 + … + 2003)÷11的余数是1. 这个一位数是1.

例4 在小于1000的自然数中，除以18及33而余数相同的数有多少？
思路点拨 首先看18与33中有多少个符合题意的余数；其次看18与33的最小公倍数与1000的关系中，有多少个符合题意的余数。

答案： 因为0～17各数分别除以18及33的余数相同，共有18个：因为[18，33]=198，即在连续的198个自然数中，除以18及33而余数相同的数有18个. 1000÷198 = 5……10，18×5 + 10 = 100(个).

例5 求1^1＋2^2＋3^3＋4^4＋5^5＋6^6＋7^7＋8^8＋9^9除以3的余数是多少？
思路点拨 若先乘方再求和，最后求余数是很麻烦的。由于题中乘方的反复出现，信息告诉我们不妨尝试用同余性质第(6)条去求答。

答案： 因为1，2²除以3的余数均为1. 3³，6⁶，9⁹均为3的倍数，故余数均为0. 因4≡1(mod3)，则4⁴≡1⁴≡1(mod3)，5≡2(mod3)，则5²≡2²≡1(mod3)，5⁵ = 5²×5²×5，故5⁵≡1×1×5≡2(mod3). 同理可知：7⁷≡1(mod3)，8⁸≡1(mod3)，所以1 + 2² + 3³ + 4⁴ + 5⁵ + 6⁶ + 7⁷ + 8⁸ + 9⁹≡1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1≡7≡1(mod3). 因此余数为1.

例6 求39628175448除以9的余数。
思路点拨 由数的整除的判断方法可知，一个数的各位数字之和除以9的余数是多少，那么这个数除以9的余数也是多少。

答案： 从39628175448中画去和数为9的数字后，还剩下4，8，因为4 + 8 = 12，12除以9余3，故这个数除以9的余数是3.

例7 一串数1，2，4，7，11，16，…。其中第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3；依此类推，那么这串数左起第1993个数除以5的余数是多少？
思路点拨 按题意去求第1993个数是很困难的。用5去除这串数中的每一个数就得到余数数串，显然，余数数串是有规律的。

答案： 这串数每个数依次除以5的余数为：1，2，4，2，1；1，2，4，2，1；…，1993÷5 = 398……3，第三个余数是4.