《2024年培优新方法五年级数学人教版》

例7 有四个大于0的不同的自然数，它们的和是1111.如果要使这四个数的公因数尽可能大，那么这四个数的公因数最大是多少?
(“《小学生数学报》杯”竞赛题)
思路点拨 分解1111后就显而易见了.

答案： 1111=11×101,11=1+2+3+5,最大公因数是101.

例8 两个数的和是70，它们的最大公因数是7.这两个数的差是多少?
思路点拨 因为两个数的最大公因数是7，所以这两个数都可以表示成7的倍数，且这两个整数互质.

答案： 70=7×10=7×(1+9)=7×(3+7),两数之差:7×(9−1)=56或7×(7−3)=28.

例9 有三个不同的自然数，它们的最大公因数是1，但其中任两数都不互质，这三个自然数的和最小是多少?
思路点拨 取尽量小的值去满足“三个数互质”及“两两不互质”的条件.

答案： 因为(a,b,c)=1,(a,b)＞1,(a,c)＞1,(b,c)＞1,不妨设(a,b)=2,(a,c)=3,(b,c)=5,则a=2×3=6,b=2×5=10,c=3×5=15.因此，这三个自然数的和最小是6+10+15=31.

例10 从一张长2002、宽847的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形边长是多少?
思路点拨 注意到2002 = 847×2 + 308，开始时的长方形纸片上可以连剪两个边长为847的正方形，剩下的部分是长847，宽308的长方形.

答案：
(1)第一次剪下边长为847的两个正方形，剩下一个847×308的长方形;
(2)第二次剪下边长为308的两个正方形，剩下一个308×231的长方形;
(3)第三次剪下边长为231的一个正方形，剩下一个231×77的正方形;
(4)最后剩下的231×77的长方形，正好可以剪下三个边长为77的正方形，最后剪得的正方形边长是77.