《2024年培优新方法五年级数学人教版》

4. 100个自然数，它们的和是10000，在这些数里，奇数的个数比偶数的个数多.问这些数里至多有多少个偶数.

答案： 因为这100个数的和是偶数，那么奇数的个数必须是偶数，又因为奇数的个数比偶数多，所以奇数至少有52个，偶数至多有48个.

5. 能否将1～25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和？

答案： 不能分成.如果可以按要求分成若干组，每一组中的最大数等于组内其余各数的和，则每一组中各数之和必是最大数的两倍，是个偶数.所以25个数相加的总和是个偶数，但是这25个数的总和为1 + 2 + … + 25 = 325是个奇数.奇数≠偶数.所以，不能按题设要求分成.

6. 已知a，b，c都是质数，且a + b = c，那么a×b×c的最小值是多少？

答案： 因为所有的质数除2外都是奇数，由a + b = c可知，a = 2，b，c都是质数，且保证要最小，故可推知b = 3，c = 5，所以a×b×c = 2×3×5 = 30.

7. 在1993，1992，1991，…，2，1这1993个整数之间，任意添上加号或减号，其结果总是奇数，这是为什么？

答案： 因为任意两个整数的和与差的奇偶性是相同的，所以不必考虑添减号.
这1993个数的和是：(1 + 1993)×1993÷2 = 997×1993，显然是个奇数，因此其结果是个奇数.

8. 1 + 2×3 + 4×5 + 6×7 + … + 100×101的和是奇数，还是偶数？

答案： 从第2个加数起，每个加数为两数之积，且其中有一个因数为偶数，所以从第二个加数起，每个加数都是偶数，偶数个偶数之和为偶数，又第一个加数是奇数，故整个式子的最后结果是：奇数 + 偶数 = 奇数.

9. 某班学生参加学校的数学竞赛，试题共50道.评分标准是：答对1道给3分，不答给1分，答错倒扣1分，请你说明，不管情况如何，该班同学得分总数一定是偶数.

答案： 每个同学如果50道题全答对，得分3×50 = 150分，是偶数.如果他答错一题，便要扣去1 + 3 = 4分，不管答错几题，便要从150分中扣去的分数是偶数(4的倍数)，偶数减去偶数得偶数.所以他的得分是偶数；如果他有一道题没答，便要在150分中扣去2分，不管有多少题没答，被扣去的总是偶数(2的倍数)，同样，他的得分是偶数.所以全班的每个同学，不论答题情况如何，得分总是偶数.

10. 平面上有99个点，每3个点都不在一条直线上，现在从每个点引出5条直线和其余的任意5个点相连，你能连成吗？为什么？

答案： 不能连成，每个点与另一个点连接成一条直线，可看作两个点各连一次，则连接的直线总条数是99×5÷2，结果是小数，这是不可能的.