《2024年培优新方法五年级数学人教版》

例7 一个41位数$\underbrace{555\cdots5}_{20个5}\square\underbrace{999\cdots9}_{20个9}$能被7整除，则中间方格代表的数字是几？
思路点拨 因为555555 = 5×111111，999999 = 9×111111均能被7整除(为什么)，所以由18个5和18个9分别组成的18位数也能被7整除，剩下中间的55□99也能被7整除，你有什么好方法吗？

答案：
将55□99分解成两个数的和:55A00 + B99，□ = A + B，因为7|55300，7|399，所以 = 3 + 3 = 6.

例8 在所有五位数中，各位数字之和等于43，且能够被11整除的数有哪些？
思路点拨 各位数字和等于43的五位数是不多的，可以从极端思想分析得知，经过一定的排列，结合被11整除的特征便能轻松上手.

答案： 从极端入手，99999是最大的五位数，数字和是9×5 = 45，由题设分析，数字和是43的五位数有两种情况:第一，由1个7,4个9组成的五位数;第二，由2个8,3个9组成的五位数.因为能被11整除，经过适当排列为:97999,99979,98989.

例9 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
思路点拨 因为105 = 3×5×7，由于被5整除的可能性最少，所以先考虑被5整除的情况，再依次考虑被3，7整除的情况.

答案： 令N=$\overline{1992AB}$，105 = 3×5×7，N能被5整除，则N1=$\overline{1992A0}$或N2=$\overline{1992A5}$；当N能被3整除时:1 + 9 + 9 + 2 + A + 0 = 21 + A，A = 0,3,6,9或1 + 9 + 9 + 2 + A + 5 = 26 + A，A = 1,4,7，则N可能是:199200,199230,199260,199290,199215,199245,199275；当N能被7整除时，经试算:N = 199290，最后两位数字是90.

例10 甲、乙两人进行了下面的游戏，两人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一填入图7 - 1所示的任一方格中.
每一个方格只填一个数字，六个方格都填上数字(数字可重复)后，就形成一个六位数，如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.设N小于15，那么当N取哪几个数时，乙才能取胜？
思路点拨 首先分析出乙不能获胜的N的取值情况，再分析乙为了取胜N的取值情况及如何实现这些取值.

答案： 当N = 2,4,6,8,10,12,14时，甲可以在最右边方格里填上一个奇数(六位数的个位),则六位数不能被N整除，乙不能获胜;当N = 5时，甲可以在六位数的个位上填上一个不是0 或5的数，乙也不可以获胜.那么N在什么情况下，乙有取胜的方法呢？
　　　当N = 1时，乙必获胜,当N = 3或9时，乙在填最后一个数时，总能把六个数字之和凑成3 或9的整数倍，乙必获胜.当N = 7,11,13时，乙有取胜方法,
　　　我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对.甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填上同样的数字，这就保证所填的六位数能被7,11,13整除，故乙能获胜.综上所述，使乙获胜的N是:1,3,7,9,11,13.