《2024年培优新方法五年级数学人教版》

8. 从4到100的自然数中，除以4余数都是1的各个数的和是多少？

答案： 符合题意的数的和为：5 + 9 + 13 + 17 + … + 97 =（5 + 97）×[（97 - 5）÷4 + 1]÷2 = 1224.

9. 一个数除以7余数是2，如果将被除数扩大9倍，那么余数是多少？

答案： 设这个数n = 7m + 2，9n =（7m + 2）×9 = 63m + 18，因为63m能被7整除，所以这个数扩大9倍除以7的余数等于18除以7的余数：18÷7 = 2……4.

10. 有一个两位数，用它除58余2，除73余3，除85余1，求这个两位数。

答案： 58 - 2 = 56，73 - 3 = 70，85 - 1 = 84，（56，70，84）= 14.

11. 用某数除1019余4，除1816不足4，这个数最大是多少？

答案： 1019 - 4 = 1015，1816 + 4 = 1820，（1015，1820）= 35.

12. 将既能被5整除又能被7整除的自然数自35起从小到大排成一行，共有1991个数。这1991个数的和被11除的余数是多少？

答案： 首先将5，7的公倍数排成一行：35，70，105，140，175，210，….这一行数被11除的余数分别是：2，4，6，8，10，1，3，5，7，9，0，2，…. 由上可知：余数以11个数为一个周期循环出现，又因为2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 0 = 55，55是11的倍数，所以这11个数的和也是11的倍数.1991÷11 = 181，可知这1991个数的和被11除的余数是0.

13. 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，…。最右边一个数被6除余几？

答案： 这一列数被6除的余数依次为：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，…，余数从头起12个数一个周期：70÷12 = 5……10. 因此第70个数除以6余4.

14. 甲、乙两人做同一个数的带余除法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得的商数与乙所得的余数之和为13，求甲所得的余数。

答案： 甲做的带余除法式子：N = 8a₁ + r₁，乙做的带余除法式子：N = 9a₂ + r₂.因为：a₁ + r₂ = 13，则r₂ = 13 - a₁.代入前面两式：8a₁ + r₁ = 9a₂ + 13 - a₁，9（a₁ - a₂）= 13 - r₁，由等式左边知（13 - r₁）能被9整除，故r₁ = 4.