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一、一元二次方程的概念
【例 1】当 $ m $ 为何实数时,方程 $(m + 2)x^{|m|} + 3mx + 1 = 0$ 是关于 $ x $ 的一元二次方程？
解：
【例 1】当 $ m $ 为何实数时,方程 $(m + 2)x^{|m|} + 3mx + 1 = 0$ 是关于 $ x $ 的一元二次方程？
解：
答案：
$m = 2$
【针对训练】
1. 下列方程是一元二次方程的是 (
A.$ x^{2} + 1 = x(x + 1) $
B.$ y^{2} + x = 1 $
C.$ x^{2} - 1 = 0 $
D.$ \frac{1}{x} + x^{2} = 1 $
1. 下列方程是一元二次方程的是 (
C
)A.$ x^{2} + 1 = x(x + 1) $
B.$ y^{2} + x = 1 $
C.$ x^{2} - 1 = 0 $
D.$ \frac{1}{x} + x^{2} = 1 $
答案：
C
2. 方程 $ 3x^{2} = 5 + 2x $ 化成一般形式为
$3x^2 - 2x - 5 = 0$
,二次项系数为$3$
,一次项系数为$-2$
,常数项为$-5$
.
答案：
一般形式为 $3x^2 - 2x - 5 = 0$，二次项系数为 $3$，一次项系数为 $-2$，常数项为 $-5$。
（根据要求，此处应分别填写对应空的内容，由于题目要求格式，以下仅给出填空的顺序答案内容）
$3x^2 - 2x - 5 = 0$，$3$，$-2$，$-5$
（根据要求，此处应分别填写对应空的内容，由于题目要求格式，以下仅给出填空的顺序答案内容）
$3x^2 - 2x - 5 = 0$，$3$，$-2$，$-5$
二、一元二次方程的根
【例 2】已知 $ x = 1 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + mx + n = 0 $ 的一个根,求 $ m^{2} + 2mn + n^{2} $ 的值.
解：
【例 2】已知 $ x = 1 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + mx + n = 0 $ 的一个根,求 $ m^{2} + 2mn + n^{2} $ 的值.
解：
答案：
∵x=1是方程x²+mx+n=0的一个根，
∴将x=1代入方程得：1²+m×1+n=0，
即1+m+n=0，
∴m+n=-1.
m²+2mn+n²=(m+n)²，
将m+n=-1代入得：(-1)²=1.
故答案为1.
∵x=1是方程x²+mx+n=0的一个根，
∴将x=1代入方程得：1²+m×1+n=0，
即1+m+n=0，
∴m+n=-1.
m²+2mn+n²=(m+n)²，
将m+n=-1代入得：(-1)²=1.
故答案为1.
【针对训练】
3. 已知 $ x = 2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + mx + 2 = 0 $ 的一个解,则 $ m $ 的值是(
A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ 0 $
D.$ 0 $ 或 $ 3 $
3. 已知 $ x = 2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + mx + 2 = 0 $ 的一个解,则 $ m $ 的值是(
A
)A.$ -3 $
B.$ 3 $
C.$ 0 $
D.$ 0 $ 或 $ 3 $
答案：
A
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