《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

11.已知关于$x$的分式方程$\frac{3-2x}{x-2}-\frac{mx-2}{2-x}=-1$,若这个分式方程无解，求$m$的值.

答案： 11.解：去分母，得3 - 2x + mx - 2 = 2 - x,
整理，得(m - 1)x = 1.分两种情况：
①当m - 1 = 0，即m = 1时，
方程(m - 1)x = 1无解，则原分式方程无解；
②当m ≠ 1时，由分式方程无解，
得x - 2 = 0，解得x = 2,
把x = 2代入整式方程，得2(m - 1) = 1,
解得m = $\frac{3}{2}$.
综上所述，m的值为1或$\frac{3}{2}$

12.定义：若两个分式的差为$2$，则称这两个分式属于“友好分式组”.
(1)下列$3$组分式：
①$\frac{3a}{a+1}$与$\frac{a}{a+1}$;②$\frac{3a}{a-1}$与$\frac{a+2}{a-1}$;③$\frac{a}{2a+1}$与$\frac{5a+2}{2a+1}$.
其中属于“友好分式组”的有②③(填序号).
(2)若正实数$a,b$互为倒数，说明：分式$\frac{3a^{2}}{a^{2}+b}$与$\frac{a-2b^{2}}{a+b^{2}}$属于“友好分式组”.

答案： 12.解：
(1)②③
(2)
∵a，b互为倒数，
∴ab = 1，b = $\frac{1}{a}$
∴$\begin{vmatrix}\frac{3a²}{a² + b}&\frac{a - 2b²}{a + b²}\end{vmatrix}$ = $\frac{3a²}{a² + \frac{1}{a}}$ + $\frac{a - \frac{2}{a²}}{a + \frac{1}{a²}}$
=$\frac{3a³}{a³ + 1}$ + $\frac{a³ - 2}{a³ + 1}$ = 2,
∴分式$\frac{3a²}{a² + b}$与$\frac{a - 2b²}{a + b²}$属于“友好分式组”.

13.城镇老旧小区改造是重大民生工程.某地积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作.现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的$1.5$倍；如果由甲、乙两队先合作$15$天，那么余下的工程由甲队单独完成还需$5$天.
(1)该工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为$3500$元,乙队每天的施工费用为$2500$元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成，则该工程施工费用是多少？

答案： 13.解：
(1)设该工程的规定时间是x天.
由题意得($\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{1.5x}$)×15 + $\frac{5}{x}$ = 1，解得x = 30.
经检验，x = 30是原分式方程的解，且符合题意.
答：该工程的规定时间是30天.
(2)甲、乙两队合作完成所需
1÷($\frac{1}{30}$ + $\frac{1}{1.5×30}$) = 18(天).
18×(3500 + 2500) = 108000(元).
答：该工程施工费用是108000元.