《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

11.(新乡期中)如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle C = 26^{\circ}$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段$AC$的垂直平分线；(保留作图痕迹)
(2)记(1)中所作$AC$的垂直平分线交$BC$于点$E$，交$AC$于点$F$，连接$AE$，求$\angle DAE$的度数.

答案：
11.解:
(1)如图所示，EF即为线段AC的垂直平分线.
(2)如图,
∵EF是AC的垂直平分线,
∴EA=EC,
∴∠EAC=∠C=26°.
　又∠B=60°,
∴∠BAC=180°−26°−60°=94°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=47°,
∴∠DAE=∠DAC−∠EAC=21°.

12.如图，每个小正方形的边长为$1$个单位长度，$\triangle ABC$中点$A$的坐标为$(-2,1)$，点$B$的坐标为$(-1,2)$.
(1)请在图中画出符合题意的平面直角坐标系，并写出点$C$的坐标_______；
(2)作出$\triangle ABC$关于$x$轴的对称图形$\triangle A_1B_1C_1$；
(3)若点$P(m,n)$在$\triangle ABC$的内部，当$\triangle ABC$沿$x$轴翻折后，点$P$的对应点$P_1$的坐标为_______.

答案：
12.解:
(1)所作平面直角坐标系如图所示.(-3, 3)
(2)如图,△A₁B₁C₁即为所求.
(3)(m, -n)

13.如图，四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$E$，若$\triangle ABC$是等边三角形，$AD \perp AB$，$AD = DC = 4$.
(1)求证：$BD$垂直平分$AC$；
(2)求$BE$的长.

答案： 13.
(1)证明:
∵AD=DC,
　点D在线段AC的垂直平分线上.
∵△ABC是等边三角形,
∴BA=BC，
∴点B在线段AC的垂直平分线上,
∴BD是线段AC的垂直平分线,
∴BD垂直平分AC.
(2)解:
∵△ABC是等边三角形,AD⊥AB,BD垂直平分AC,
∴∠ABD=∠EAD=30°.
∵AD = DC = 4,
∴ BD = 8, ED = 2，
∴BE=BD−ED=8−2=6.