《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

23.(11分)知识生成
通常情况下,用两种不同的方法计算同一图形的面积,可以得到
一个恒等式.
(1)如图1,根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是
$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$.
知识迁移
类似地,用两种不同的方法计算同一几何体的体积,也可以得到
一个恒等式.
如图2是一个棱长为$a+b$的正方体,被分割成8块.
(2)用不同的方法计算这个正方体的体积,就可以得到一个等
式,这个等式为
(3)已知$a+b=3$,$ab=1$,利用上面的规律求$a^{3}+b^{3}$的值.

答案： 23.解：
(1)$(a + b)^{2}-(a - b)^{2}=4ab$
(2)$(a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$
(3)由
(2)可知$(a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$，$\therefore a^{3}+b^{3}=(a + b)^{3}-3a^{2}b - 3ab^{2}=(a + b)^{3}-3ab(a + b)$.将$a + b = 3,ab = 1$代入，得$a^{3}+b^{3}=3^{3}-3×1×3 = 18$.