《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

21.(10分)下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x+6)+4$进行
因式分解的过程:
解:设$x^{2}-4x=y$,则
原式$=(y+2)(y+6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y+16$(第二步)
$=(y+4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的
(C)
A.提取公因式
B.平方差公式
C.完全平方公式
D.平方和公式
(2)该同学在第四步将$y$用所设的$x$的式子代换,得到因式分解
的最后结果.这个结果是否分解到了最后?否(填“是”
或“否”).如果否,请直接写出最后的结果:$(x - 2)^{4}$.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x+2)+1$进
行因式分解.

答案： 21.解：
(1)C
(2)否$(x - 2)^{4}$
(3)设$x^{2}-2x = y$，则原式$=y(y + 2)+1=y^{2}+2y + 1=(y + 1)^{2}=(x^{2}-2x + 1)^{2}=(x - 1)^{4}$.

22.(10分)提出问题:你能把多项式$x^{2}+5x+6$因式分解吗?
探究问题:如图1所示,设$a$,$b$为常数,由面积相等可得$(x+a)·(x+b)=x^{2}+ax+bx+ab$,将该式从右到左使用,就可
以对形如$x^{2}+(a+b)x+ab$的多项式进行因式分解,即$x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$.观察多项式$x^{2}+(a+b)x+ab$的特征是二次项系数
为1,常数项为两数之积,一次项系数为两数之和.例如$x^{2}+5x+6=x^{2}+(2+3)x+2×3=(x+3)(x+2)$.
(1)基础运用:根据上述方法将多项式$x^{2}-5x-24$进行因式分解.
(2)知识迁移:对于多项式$4x^{2}-4x-15$进行因式分解还可以这
样思考:将二次项$4x^{2}$分解成图2中的两个$2x$的积,再将常数项
-15分解成-5与3的乘积,图中的对角线上的乘积的和为$-4x$,
就是$4x^{2}-4x-15$的一次项,所以$4x^{2}-4x-15=(2x-5)(2x+3)$.这
种分解因式的方法叫作“十字相乘法”.请用十字相乘法进行因
式分解:$3x^{2}-19x-14$.

答案：
22.解：
(1)由题意，得$x^{2}-5x - 24 = x^{2}+(3 - 8)x + 3×(-8)=(x + 3)(x - 8)$.
(2)用十字相乘法进行因式分解： $3x^{2}-19x - 14=(x - 7)(3x + 2)$.