《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

19.(9分)如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(3,3)，C(5,1).
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△AB₁C₁，并写出点B₁，C₁的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)若点P在x轴上，且△APC的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标.

答案：
19.解:
(1)如图，△AB₁C₁即为所求作.
点B₁的坐标是(3，-3)，点C₁的坐标是(5，-1).

(2)△ABC的面积为3×4 - $\frac{1}{2}$×2×3 - $\frac{1}{2}$×2×2 - $\frac{1}{2}$×1×4 = 5.
(3)设点P的坐标为(m，0)，
∵点A的坐标是(1，0)，
∴△APC的面积为$\frac{1}{2}$×|m - 1|×1 = 5，
∴|m - 1| = 10，即m - 1 = 10或m - 1 = -10，解得m = 11或m = -9，
∴点P的坐标是(11，0)或(-9，0).

20.(9分)如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且AE = CD，AD与BE相交于点F.
(1)求∠BFD的度数；
(2)过点B作BH⊥AD于点H，若EF = 3，FH = 6，求AD的长度.

答案： 20.解:
(1)
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE = ∠C = 60°，AB = CA.
又
∵AE = CD，
∴△ABE ≅ △CAD，
∴∠ABE = ∠CAD，BE = AD，
∴∠BFD = ∠ABE + ∠BAD = ∠CAD + ∠BAD = ∠BAC = 60°.
(2)
∵BH⊥AD，
∴∠BHF = 90°，
∴∠FBH = 30°，FH = $\frac{1}{2}$BF，即BF = 2FH.
又FH = 6，
∴BF = 12，
∴BE = BF + EF = 15，
∴AD = BE = 15.

21.(10分)如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AD是BC边上的中线，且BD = BE，CD的垂直平分线MF交AC于点F，交BC于点M.
(1)求∠ADE的度数；
(2)求证：△ADF是等边三角形.

答案： 21.
(1)解:
∵AB = AC,∠BAC = 120°,
∴∠B = ∠C = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠BAC) = 30°.
∵BD = BE,
∴∠BDE = ∠BED = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠B) = 75°.
∵AD是BC边上的中线，AB = AC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB = 90°,
∴∠ADE = ∠ADB - ∠BDE = 15°.
(2)证明:
∵MF垂直平分CD，
∴DF = CF.
∴∠FDC = ∠C = 30°,
∴∠AFD = ∠C + ∠FDC = 60°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC = 90°,
∴∠DAF = 90° - ∠C = 60°,
∴∠FAD = ∠ADF = ∠AFD = 60°,
∴△ADF是等边三角形.