《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

7.先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如$x^{2}+2xa+a^{2}$这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成$(x+a)^{2}$的形式.但对于二次三项式$x^{2}+2xa-3a^{2}$，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式$x^{2}+2xa-3a^{2}$中先加上一项$a^{2}$，使它与$x^{2}+2xa$的和成为一个完全平方式，再减去$a^{2}$，于是有：
$x^{2}+2xa-3a^{2}$
$=(x^{2}+2xa+a^{2})-a^{2}-3a^{2}$
$=(x+a)^{2}-4a^{2}$
$=(x+a)^{2}-(2a)^{2}$
$=(x+3a)(x-a)$.
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：$a^{2}-6a+8$；
(2)已知$\triangle ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数，且满足$a^{2}+b^{2}-2a-4b+5=0$,求$\triangle ABC$的周长，并判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 7.解：
(1)原式=a² - 6a + 8 + 9 - 9 = a² - 6a + 9 - 1
=(a - 3)² - 1
=(a - 3 + 1)(a - 3 - 1)
=(a - 2)(a - 4).
(2)
∵a² + b² - 2a - 4b + 5 = 0,
∴(a² - 2a + 1) + (b² - 4b + 4) = 0,
(a - 1)² + (b - 2)² = 0,
∴a - 1 = 0，b - 2 = 0,
∴a = 1，b = 2,
∴2 - 1 ＜ c ＜ 2 + 1,
即1 ＜ c ＜ 3.
∵a，b，c都是正整数，
∴c = 2，
∴b = c,
∴△ABC是等腰三角形.

8.计算：(1)$-1^{-2024}+(2025-\pi)^{0}-(-\frac{2}{3})^{-2}+(-2)^{3}$；
(2)$\frac{x^{2}+2x}{x-1}÷(x+1-\frac{3}{x-1})$.

答案： 8.解：
(1)原式=-1 + 1 - $\frac{9}{4}$ - 8 = -$\frac{41}{4}$.
(2)原式=$\frac{x(x + 2)}{x - 1}$ + $\frac{(x + 1)(x - 1) - 3}{x - 1}$
=$\frac{x(x + 2)}{x - 1}$÷$\frac{x² - 4}{x - 1}$
=$\frac{x(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$
=$\frac{x}{x - 2}$.