《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

23.(11分)背景知识
如图1，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，若$AC = BC$，则$AB = \sqrt{2}AC = \sqrt{2}BC$.
(1)解决问题
如图2，$\angle ACD = 90^{\circ}$，$AC = DC$，$MN$是过点$A$的直线，过点$D$作$DB \perp MN$于点$B$，连接$CB$，尝试探究线段$AB$，$BC$，$BD$之间的数量关系：过点$C$作$CE \perp CB$，与$MN$交于点$E$，则出现了一对全等三角形，即△ACE$\cong$△DCB，由此可得线段$AB$，$BC$，$BD$之间的数量关系是AB+BD=√2BC.
(2)类比探究
将图2中的$MN$绕点$A$旋转到图3的位置，其他条件不变，试探究线段$AB$，$BC$，$BD$之间的数量关系，并加以证明.
(3)拓展应用
将图2中的$MN$绕点$A$旋转到图4的位置，其他条件不变，若$BD = 2$，$BC = \sqrt{2}$，则$AB$的长为4.(直接写结果)

答案：

(1)△ACE≌△DCB AB+BD=√2BC
(2)BD - AB=√2BC。
　证明:如图1，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E。
∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠DCB，∠CEA+∠CBE=90°。
∵DB⊥MN，
∴∠DBE=90°，
∴∠CBE+∠CBD=90°，
∴∠CEA=∠CBD。
　又AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴EC=BC，EA=BD。
　又∠BCE=90°，
∴BE=√2BC。
∵BE=EA - AB=BD - AB，
∴BD - AB=√2BC。
　　　　　
(3)4
　解法提示:如图2，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，同理可得△ACE≌△DCB，
∴CE=BC，EA=BD。又∠BCE=90°，
∴BE=√2BC。
∵BE=AB - EA=AB - BD，
∴AB - BD=√2BC。
∵BD=2，BC=√2，
∴AB=BD+√2BC=4。