《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

20.(9 分)(平顶山期末)如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为$A(-4,2)$,$B(-2,1)$,$C(-3,4)$.
(1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A₁B₁C₁;(点 A,B,C 的对应点分别为 A₁,B₁,C₁)
(2)写出△A₁B₁C₁三个顶点的坐标;
(3)求△OBA₁的面积.

答案：
解：
(1)如图 所示，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求作.
(2)$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$三个顶点的坐标分别为$A_{1}(4,2)$，$B_{1}(2,1)$，$C_{1}(3,4).$
(3)$S_{\triangle OBA_{1}}=6×2-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×6×1-\frac{1}{2}×4×2=12-1 - 3 - 4 = 4$.

21.(10 分)已知任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数.
(1)$(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2$的结果是 5 的几倍?
(2)设五个连续整数的中间一个数为 n,写出它们的平方和,并说明是 5 的倍数;
(3)任意三个连续整数的平方和能被 3 整除吗? 如果不能,余数是几? 请给出结论并写出理由.

答案： 解：
(1)$(-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=1 + 0+1+4+9=15=5×3$，故结果是$5$的$3$倍.
(2)由题意得，另外四个整数分别为$n - 2$，$n - 1$，$n + 1$，$n + 2.$它们的平方和为$(n - 2)^{2}+(n - 1)^{2}+n^{2}+(n + 1)^{2}+(n + 2)^{2}=5n^{2}+10=5(n^{2}+2)$，$\therefore$它们的平方和是$5$的倍数.
(3)不能被$3$整除，余数是$2.$
理由：设中间的整数为$a$，$\because (a - 1)^{2}+a^{2}+(a + 1)^{2}=3a^{2}+2$，$\therefore$任意三个连续整数的平方和不能被$3$整除，余数是$2.$