《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

18.(9分)如图，某城市公园里有三个景点$A$，$B$，$C$，直线$l_1$，$l_3$表示直路，而$l_2$表示弯路.想在$S$区里修建一座公厕$P$，使它到两条路$l_1$和$l_3$的距离相等，且到两个景点$B$和$C$的距离也相等.求点$P$的位置.

答案：
18.解：设$l_1$和$l_3$交于点E，以点E为圆心，以适当的长为半径画弧分别交$l_1$，$l_3$于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径画弧，在$l_1$，$l_3$的内部交于点F，作射线EF，连接BC，分别以点B，C为圆心，以大于$\frac{1}{2}$BC的长为半径画弧，两弧交于点T，H，作直线TH与射线EF交于点P，则点P为所求作的点.
理由如下：
由作图可知：EF为直线$l_1$，$l_3$夹角的平分线，点P在EF上，
∴点P到$l_1$和$l_3$的距离相等，
由作图可知：直线TH为线段BC的垂直平分线，点P在TH上，
∴TB=TC.
∴点P到$l_1$和$l_3$的距离相等，且到点B和C的距离也相等.

19.(9分)如图，$BD$为$\triangle ABC$的角平分线，且$BD=BC$，$E$在$BD$的延长线上，$BE=BA$，连接$AE$，$CE$.求证：
(1)$\triangle ABD\cong\triangle EBC$；
(2)$\angle BCE+\angle BCD=180^{\circ}$.

答案： 19.证明：
(1)
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBC.
又
∵BD=BC，BA=BE，
∴△ABD≅△EBC.
(2)由
(1)得△ABD≅△EBC，
∴∠BDA=∠BCE.
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD.
又∠BDA+∠BDC=180°，
∴∠BCE+∠BCD=180°.

20.(9分)(洛阳期末)在一个支架的横杆点$O$处用一根绳悬挂一个小球$A$，小球$A$可以摆动，如图1，$OA$表示小球静止时的位置.如图2，当小球从$OA$摆到$OB$位置时，过点$B$作$BD\perp OA$于点$D$，当小球摆到$OC$位置时，$OB$与$OC$恰好垂直，过点$C$作$CE\perp OA$于点$E$，测得$CE=24\ {cm}$，$OA=OB=OC=30\ {cm}$.
(1)试说明$OE=BD$；
(2)求$AD$的长.

答案： 20.解：
(1)
∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°.
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，∠COE=∠B，又OC=BO，
∴△COE≅△OBD，
∴OE=BD.
(2)
∵△COE≅△OBD，
∴CE=OD=24cm.
∵OA=30cm，
∴AD=OA-OD=30-24=6(cm).