《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

20.(9分)如图，点C在线段AB上，∠A=∠B，AC=BE，AD=BC，F是DE的中点.
(1)求证：CF⊥DE；
(2)若∠ADC=20°，∠DCB=80°，求∠CDE的度数.

答案： 20.
(1)证明:
∵AC=BE,∠A=∠B,AD=BC,
∴△ADC≌△BCE,
∴CD=CE.又 F 是 DE 的中点,
∴CF⊥DE.
(2)解:
∵△ADC≌△BCE,
∴∠ADC=∠BCE=20°.
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=100°.又 CD=CE,
∴∠CDE=40°.

21.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，点E是AC的中点.
(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法).
①作∠DAC的平分线AM，连接BE，并延长交AM于点G；
②过点A作BC的垂线，垂足为F.
(2)猜想与证明：猜想AG与BF有怎样的位置关系与数量关系，并证明.

答案：
21.解:
(1)①②如图所示.

(2)AG//BF,AG=2BF.证明:
∵AB=AC,∠ABC=∠C,
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.
∵AM 平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠GAC,
∴∠GAC=∠C,
∴AG//BC,即 AG//BF.
∵点 E 是 AC 的中点,
∴AE=CE.又∠AEG=∠CEB,
∴△AEG≌△CEB,
∴AG=CB.
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BC=2BF,
∴AG=2BF.

22.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：
(1)EF⊥AB；
(2)△ACF为等腰三角形.

答案： 22.证明:
(1)
∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=72°.又 BD 是∠ABC 的平分线,
∴∠ABD=36°,
∴∠BAD=∠ABD,
∴AD=BD.又 E 是 AB 的中点,
∴DE⊥AB,即 EF⊥AB.
(2)
∵EF⊥AB,AE=BE,
∴EF 垂直平分 AB,
∴AF=BF,
∴∠BAF=∠ABF.又∠ABD=∠BAD,
∴∠FAD=∠FBD=36°.又∠ACB=72°,
∴∠AFC=∠ACB - ∠CAF=36°,
∴∠CAF=∠AFC=36°,
∴AC=CF,即△ACF 为等腰三角形.