《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

20.(9分)如图，$CB = CD$，$\angle D + \angle ABC = 180^{\circ}$，$CE \perp AD$于点$E$，$CF \perp AB$交$AB$的延长线于点$F$.
(1)求证：$AC$平分$\angle DAB$；
(2)若$AE = 8$，$DE = 2$，求$AB$的长.

答案：

(1)证明:
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠DEC=∠BFC=90°。
∵∠D+∠ABC=180°，∠CBF+∠ABC=180°，
∴∠D=∠CBF。
　在△CDE与△CBF中，
　{∠D=∠CBF，
　∠DEC=∠BFC，
　CD=CB，
∴△CDE≌△CBF(AAS)，
∴CE=CF，
∴AC平分∠DAB。
(2)解:由
(1)可得BF=DE=2。
　在Rt△ACE和Rt△ACF中，
　{CE=CF，
　AC=AC，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，
∴AE=AF=8，
∴AB=AF - BF=6。
　　　　　　　　　　　　　　　

21.(10分)已知$\triangle ABC$是等边三角形，$BD$是$AC$边上的中线，延长$BC$至点$E$，使$CE = CD$.
(1)如图1，求证：$BD = DE$；
(2)如图2，过点$D$作$DE$的垂线交$BC$于点$F$，求证：$\triangle DCF$是等边三角形.

答案：
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC。
∵BD是AC边上的中线，
∴∠DBC=1/2∠ABC=30°。
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∴∠E=1/2∠ACB=30°，
∴∠E=∠DBC，
∴BD=DE。
(2)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DCF=60°。
∵DF⊥DE，
∴∠FDE=90°。
　又∠E=30°，
∴∠FDC=180° - ∠DCF - ∠DFC=60°，
∴∠FDC=∠DCF=∠DFC，
∴∠DFC=90° - ∠E=60°，
∴△DCF是等边三角形。

22.(10分)如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，$DG$垂直平分$BC$，$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$.
(1)求证：$BE = CF$；
(2)如果$AB = 5$，$AC = 3$，求$AE$，$BE$的长.

答案：

(1)证明:如图，连接BD，CD。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°。
∵DG垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴BE=CF。
　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)解:
∵∠AED=∠AFD=90°，∠EAD=∠FAD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF。
　设BE=x，则CF=x。
∵AB=5，AC=3，
∴AE=AB - BE=5 - x，AF=AC+CF=3+x，
∴5 - x=3+x，解得x=1，
∴BE=1，AE=5 - 1=4。