《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

4.已知$(x^{2} + 3mx - \frac{1}{3})(x^{2} - 3x + n)$展开后的结果中不含$x$和$x^{3}$的项.
(1)求$m,n$的值；
(2)求$m^{2} - mn + \frac{1}{4}n^{2}$的值.

答案： 4.解：
(1)(x² + 3mx - $\frac{1}{3}$)(x² - 3x + n)
=x⁴ - 3x³ + nx² + 3mx³ - 9mx² + 3mnx - $\frac{1}{3}$x² + x - $\frac{1}{3}$n
=x⁴ + (3m - 3)x³ + (n - 9m - $\frac{1}{3}$)x² + (3mn + 1)x - $\frac{1}{3}$n,
∵(x² + 3mx - $\frac{1}{3}$)(x² - 3x + n)展开后的结果中不含x和x³的项，
∴3m - 3 = 0，3mn + 1 = 0,
∴m = 1，n = -$\frac{1}{3}$.
(2)
∵m = 1，n = -$\frac{1}{3}$,
∴m² - mn + $\frac{1}{4}$n²
=(m - $\frac{1}{2}$n)²
=[1 - $\frac{1}{2}$×(-$\frac{1}{3}$)]²
=$\frac{49}{36}$.

5.下面是某同学对多项式$(x^{2} - 3x + 4)(x^{2} - 3x + 6) + 1$进行因式分解的过程.
解：设$x^{2} - 3x = m$.
原式$=(m + 4)(m + 6) +1·s·s$第一步
$=m^{2} + 10m + 25·s·s$第二步
$=(m + 5)^{2}·s·s$第三步
$=(x^{2} - 3x + 5)^{2}·s·s$第四步
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C(填字母).
A.提取公因式 B.平方差公式 C.完全平方公式
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2} + 2x)(x^{2} + 2x + 6) + 9$进行因式分解.

答案： 5.解：
(1)C
(2)设x² + 2x = y,
原式=y(y + 6) + 9
=y² + 6y + 9
=(y + 3)²
=(x² + 2x + 3)².

6.(许昌月考)甲同学与乙同学两人共同计算一道题：$(x + m)(2x + n)$.由于甲同学抄错了$m$的符号,把“$+$”写成“$-$”,得到的结果是$2x^{2} - 7x + 3$,乙同学漏抄第二个多项式中$x$的系数,得到的结果是$x^{2} + 2x - 3$.请你求出$m,n$的值.

答案： 6.解：
∵甲同学抄错了m的符号，
∴得到的结果是(x - m)(2x + n)=2x² + (-2m + n)x - mn = 2x² - 7x + 3,
∴-2m + n = -7.
∵乙同学漏抄第二个多项式中x的系数，
∴得到的结果是(x + m)(x + n)=x² + (m + n)x + mn = x² + 2x - 3,
∴m + n = 2.
联立$\begin{cases}-2m + n = -7\\m + n = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 3\\n = -1\end{cases}$，且符合题意.