《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

21.(10分)如图，$DE\perp AB$交$AB$的延长线于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$，若$BD=CD$，$BE=CF$，求证：
(1)$AD$平分$\angle BAC$；
(2)$AB+AC=2AE$.

答案： 21.证明：
(1)
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°.
∵BD=CD，BE=CF，
∴Rt△BDE≅Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC.
(2)
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD.
又∠E=∠AFD=90°，AD=AD，
∴△AED≅△AFD，
∴AE=AF.又
∵BE=CF，
∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.

22.(10分)我们把两组对边分别平行的四边形定义为平行四边形.同样的道理，我们也可以把至少有一组邻边相等的四边形定义为等邻边四边形，把对角互补的等邻边四边形定义为完美等邻边四边形.
(1)如图，在完美等邻边四边形$ABCD$中，$AD=CD$，$\angle B+\angle D=180^{\circ}$，连接对角线$AC$，$BD$，请你结合图形，直接写出完美等邻边四边形的一条性质；
(2)如图，在四边形$ABCD$中，若$\angle B+\angle D=180^{\circ}$，且$BD$平分$\angle ABC$，求证：四边形$ABCD$是完美等邻边四边形.

答案：
22.
(1)解：∠BAD+∠BCD=180°.(答案合理即可)
(2)证明：如图，作DM⊥BC，DN⊥AB，垂足分别为点M，N；
∵BD平分∠ABC，DM⊥BC，DN⊥AB，
∴DM=DN.
∵∠DMB=∠DNB=90°，
∴∠ABC+∠MDN=180°.
又∠ABC+∠ADC=180°.
∴∠ADC=∠MDN，
∴∠ADN=∠CDM.
又∠DNA=∠DMC，DN=DM，
∴△DNA≅△DMC，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是等邻边四边形.
又∠ABC+∠ADC=180°，
∴四边形ABCD是完美等邻边四边形.