《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

22.(10分)如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，AB = 4 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为$V_P=2cm/s$，$V_Q=1cm/s$，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s.
(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？

答案： 22.解:在△ABC中,
∵∠C = 90°,∠A = 30°,
∴∠B = 60°.
∵4÷2 = 2，
∴4 - 2t ≤ 2，BP = (4 - 2t) cm，BQ = t cm.
(1)当BP = BQ时，△PBQ为等边三角形.即4 - 2t = t.
∴t = $\frac{4}{3}$.
当t = $\frac{4}{3}$时，△PBQ为等边三角形.
(2)若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP = 90°时，∠BPQ = 30°，BP = 2BQ，即4 - 2t = 2t，
∴t = 1；
②当∠BPQ = 90°时，∠BQP = 30°，BQ = 2BP，即t = 2(4 - 2t)，
∴t = $\frac{8}{5}$.
∴当t = $\frac{8}{5}$或t = 1时，△PBQ为直角三角形.

23.(11分)已知△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB = 60°.
(1)如图1，当点D在AC的垂直平分线上时，求证：DA + DC = DB.
(2)如图2，当点D不在AC的垂直平分线上时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.

答案：
23.
(1)证明:
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA = DC，
∴∠DAC = ∠DCA，∠ADB = ∠CDB = 60°，
∴∠DAC = 30°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC = 60°，
∴∠BAD = 90°，
∴∠ABD = 90° - ∠ADB = 30°，
∴DB = 2DA = DA + DC，即DA + DC = DB.
(2)解:仍然成立.
理由:在DB上截取DE = DA，连接AE，如图.
又∠ADB = 60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE = AD，∠EAD = 60°.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB = AC，∠BAC = 60°，
∴∠BAC = ∠EAD，
∴∠BAE = ∠CAD，
∴△BAE ≅ △CAD，
∴EB = DC，
∴DA + DC = DE + EB = DB.
(1)中的结论仍然成立.