《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

14.如图，在$\triangle ABC$中，$AB = BC = CA$，$BD$是$AC$边上的中线，延长$BC$至点$E$，使$CE = CD$.
(1)求证：$DB = DE$；
(2)过点$D$作$DM \perp BE$，垂足为点$M$，若$CM = 4$，求$BE$的长.

答案： 14.
(1)证明:
∵AB=BC=CA,
∴△ABC是等边三角形.
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵BD是AC边上的中线,
∴BD平分∠ABC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠CED.
　又∠BCD=∠CDE+∠CED,
∴∠CDE=∠CED=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°,
∴∠DBC=∠CED,
∴DB=DE.
(2)解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BCD=60°.
∵DM⊥BE,
∴∠DMC=90°,
∴∠CDM=30°,
∵CD=2CM=8,
∴CE=CD=8,
∴EM=CM+CE=12.
　又DM⊥BE,DB=DE,
∴BM=EM=12,
∴BE=24.

15.在等边三角形$ABC$中，点$D$是$BC$的中点，$\angle EDF = 120^{\circ}$，$\angle EDF$的两边分别交直线$AB$，$AC$于点$E$，$F$.
(1)如图1，当点$E$，$F$分别在线段$AB$，$AC$上，且$DE \perp AB$，$DF \perp AC$时，请直接写出线段$DE$与$DF$的数量关系：DE=DF；
(2)如图2，当点$E$落在线段$AB$上，点$F$落在射线$AC$上时，(1)中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
(3)如图3，当点$E$落在射线$BA$上，点$F$落在射线$AC$上时，若$AE = 2$，$CF = 4$，请直接写出$AB$的长.

答案： 15.解:
(1)DE=DF
(2)
(1)中的结论仍然成立.
　理由:如图,过点D分别作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°.
∵DG⊥AB,DH⊥AC,
∴∠BGD=∠CHD=90°,
∴∠BDG=∠CDH=30°.
∵点D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴△BDG≌△CDH,
∴DG=DH,
∵∠GDH=180°−∠BDG−∠CDH=120°,∠EDF=120°,
∴∠GDH−∠EDH=∠EDF−∠EDH,
　即∠EDG=∠FDH.
　又∠EGD=∠FHD,
∴△EDG≌△FDH,
∴DE=DF.
(3)AB=4.