《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

23.(11分)在△ABC中，AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ.
(1)问题发现
如图1，如果点P是BC边上任意一点，那么线段BQ和线段PC的数量关系是BQ=PC.
(2)拓展探究
如图2，如果点P为平面内任意一点，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.(仅以图2进行说明)
(3)延伸应用
如图3，在△DEF中，DE=6，∠EDF=60°，∠DEF=90°，P是线段EF上的任意一点，连接DP，将线段DP绕点D按顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ，请直接写出线段EQ长度的最小值.

答案：
23.解:
(1)BQ=PC
(2)
(1)中的结论仍然成立.证明:由旋转知 AQ=AP.
∵∠PAQ=∠BAC,
∴∠PAQ - ∠BAP=∠BAC - ∠BAP,
∴∠BAQ=∠CAP.又
∵AB=AC,
∴△BAQ≌△CAP,
∴BQ=PC.
(3)线段 EQ 长度的最小值为 3.解法提示:如图,在 DF 上取一点 H,使 DH=DE,连接 PH,过点 H 作 HM⊥EF 于点 M.由旋转知 DQ=DP,∠PDQ=60°,又∠EDF=60°,
∴∠EDF=∠HDP,
∴∠EDQ=∠HDP,
∴△DEQ≌△DHP,
∴EQ=HP,
∴若 EQ 最小,则 HP 最小,最小值为 HM 的长度.
∵∠EDF=60°,∠DEF=90°,
∴∠F=30°.
∵DE=6,
∴DF=2DE=12.
∵DH=DE=6,
∴FH=6.
∵∠F=30°,
∴HM=$\frac{1}{2}$FH=3,即线段 EQ 长度的最小值为 3.