《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

6.如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AC$，$\angle D = 90^{\circ}$，$BE \perp AC$于点$F$，交$CD$于点$E$，连接$EA$，$EA$平分$\angle DEF$.
(1)求证：$AF = AD$；
(2)若$BF = 7$，$DE = 3$，求$CE$的长.

答案： 6.
(1)证明:
∵∠D=90°,
∴AD⊥DE.
∵EA平分∠DEF,
∴∠AED=∠AEF,
　又
∵AF⊥EF,
∴AF=AD.
(2)解:在Rt△ABF和Rt△ACD中,
　$\begin{cases} AB = AC, \\ AF = AD, \end{cases}$
∴Rt△ABF≌Rt△ACD(HL),
∴BF=CD=7,
∴CE=CD−DE=7−3=4.

7.(洛阳期末)如图，已知点$A$，$C$，$D$在同一直线上，$BC$与$AF$交于点$E$，$AF = AC$，$AB = DF$，$AD = BC$.
(1)求证：$\angle ACE = \angle EAC$；
(2)若$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle F = 110^{\circ}$，求$\angle BCD$的度数.

答案： 7.
(1)证明:
∵AB=FD,AC=FA,BC=DA,
∴△ABC≌△FDA(SSS),
∴∠ACB = ∠FAD，
　即 ∠ACE = ∠EAC.
(2)解:
∵△ABC≌△FDA,∠F=110°,
∴∠BAC=∠F=110°.
　又∠BCD是△ABC的外角,∠B=50°，
∴∠BCD=∠B+∠BAC=160°.

8.如图，在$\triangle ABC$中，$BD \perp AC$于点$D$，$CE \perp AB$于点$E$，$BD$，$CE$交于点$G$，$BD = DC$，$DF // BC$交$AB$于点$F$，连接$FG$.求证：
(1)$\triangle DAB \cong \triangle DGC$；
(2)$CG = FB + FG$.

答案： 8.证明:
(1)
∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠ABD+∠A=90°,∠ACE+∠A=90°,
∴∠ABD=∠ACE,即∠ABD=∠GCD.
　又BD=CD,∠ADB=∠GDC=90°,
∴△DAB≌△DGC.
(2)由
(1)可知AB=CG,DA=DG.
∵BD=CD,∠BDC=90°,
∴∠DBC=∠DCB=45°.
　又DF//BC,
∴∠FDA=∠DCB=∠FDG=45°.
∵DF=DF,DA=DG,
∴△DFA≌△DFG,
∴FA=FG,
∴CG=AB=FB+FA=FB+FG.