《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

20.(9分)如图,点E在△ABC的边AC上,且∠AEB = ∠ABC.
(1)求证:∠ABE = ∠C;
(2)若∠BAE的平分线AF交BE于点F,作FD//BC交AC于点D,已知AB = 6,AC = 10,求DC的长.

答案： 20.
(1)证明：
∵∠AEB = ∠ABC，
且∠AEB = ∠EBC + ∠C，∠ABC = ∠EBC + ∠ABE，
∴∠EBC + ∠C = ∠EBC + ∠ABE，
∴∠ABE = ∠C。
(2)解：
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF = ∠DAF。
∵FD//BC，
∴∠ADF = ∠C。
又∠ABE = ∠C，
∴∠ADF = ∠ABE。
又
∵AF = AF，
∴△BAF ≌ △DAF，
∴AB = AD = 6，
∴DC = AC - AD = 4。

21.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE于点F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D,连接DE.
(1)求证:△DBC≌△ECA;
(2)若AC = 6,求△CDE的面积.

答案： 21.
(1)证明：
∵CF⊥AE，∠ACB = 90°，
∴∠DCB + ∠AEC = ∠EAC + ∠AEC = 90°，
∴∠DCB = ∠EAC。
∵BD⊥BC，
∴∠DBC = ∠ECA = 90°。
又BC = AC，
∴△DBC ≌ △ECA。
(2)解：
∵AE是BC边上的中线，
∴CE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$AC = 3。
由
(1)知△DBC ≌ △ECA，
∴BD = CE = 3，
∴S△CDE = $\frac{1}{2}$CE·BD = $\frac{1}{2}$×3×3 = $\frac{9}{2}$。

22.(10分)已知三角形内角和等于180°,四边形内角和等于360°,五边形内角和等于540°,⋯ ,请解决下面的问题:
(1)如图1,△OAB,△OCD的顶点O重合,且∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°,则∠AOB + ∠COD =180°.
(2)如图2,连接AD,BC,若AO,BO,CO,DO分别平分四边形ABCD的四个内角.
①如果∠AOB = 110°,那么∠COD的度数为.
②如果∠AOD = ∠BOC,那么AB与CD平行吗?请写出理由.

答案： 22.解：
(1)180°
(2)AB//CD。理由如下：
∵AO，BO，CO，DO分别平分四边形ABCD的四个内角，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠DAB，∠OBA = $\frac{1}{2}$∠CBA，∠OCD = $\frac{1}{2}$∠BCD，∠ODC = $\frac{1}{2}$∠ADC。
∴∠OAB + ∠OBA + ∠OCD + ∠ODC = $\frac{1}{2}$×360° = 180°。
在△OAB中，∠OAB + ∠OBA = 180° - ∠AOB；
在△OCD中，∠OCD + ∠ODC = 180° - ∠COD。
∴180° - ∠AOB + 180° - ∠COD = 180°，即∠AOB + ∠COD = 180°。
∵∠AOD = ∠BOC，
∴∠AOD = ∠BOC = 90°。
在△AOD中，∠DAO + ∠ADO = 180° - ∠AOD = 90°。
∵∠DAO = $\frac{1}{2}$∠DAB，∠ADO = $\frac{1}{2}$∠ADC，
∴$\frac{1}{2}$∠DAB + $\frac{1}{2}$∠ADC = 90°，
∴∠DAB + ∠ADC = 180°，
∴AB//CD。