《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

22.(10 分)在 Rt△ABC 中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$∠A = 30^{\circ}$,BD 是△ABC 的角平分线,$DE ⊥ AB$于点 E.
(1)如图 1,连接 EC,求证:△EBC 是等边三角形;
(2)如图 2,点 M 是线段 CD 上的一点(不与点 C,D 重合),以 BM 为一边,在 BM 的下方作$∠BMG = 60^{\circ}$,MG 交 DE 延长线于点 G,求出 MD,DG 与 AD 之间的数量关系.

答案：

(1)证明：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$\angle A=30°$，$\therefore \angle ABC=60°$，$BC=\frac{1}{2}AB.$
$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle DBC=\angle DBA=\angle A=30°$，$\therefore DA=DB.$
$\because DE\perp AB$于点$E$，$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB$，$\therefore BC=BE$，$\therefore \triangle EBC$是等边三角形.
(2)解：如图，延长$ED$至点$W$，使得$DW = MD$，连接$MW.$
由
(1)可知$DA = DB.$
$\because DE\perp AB$，$\angle A=30°$，$\therefore \angle ADE=\angle BDE=60°.$
$\because MD = DW$，$\angle WDM=\angle ADE=60°$，$\therefore \triangle WDM$是等边三角形，$\therefore MW = MD$，$\angle WMD=60°.$
又$\angle BMG=60°$，$\therefore \angle WMG=\angle DMB.$
又$\angle W=\angle MDB$，$\therefore \triangle WGM\cong\triangle DBM$，$\therefore DB = WG=DG + MD$，$\therefore AD=DG + MD.$

23.(11 分)先阅读下面的内容,再解答问题.
【阅读】例:求多项式$m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 13$的最小值.
解:$m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 13 = (m^2 + 2mn + n^2) + (n^2 - 6n + 9) + 4 = (m + n)^2 + (n - 3)^2 + 4$.
$\because (m + n)^2 \geq 0$,$(n - 3)^2 \geq 0$,
$\therefore (m + n)^2 + (n - 3)^2 + 4 \geq 4$,
$\therefore$多项式$m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 13$的最小值是 4.
【解答问题】
(1)请用 x,y 表示出例题在解答过程中因式分解运用的公式$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$;
(2)已知 a,b,c 是△ABC 的三边,且满足$a^2 + b^2 = 10a + 8b - 41$,求第三边 c 的取值范围;
(3)求多项式$-2x^2 + 4xy - 3y^2 - 6y + 7$的最大值.

答案： 解：
(1)$x^{2}+2xy + y^{2}=(x + y)^{2}$
(2)$\because a^{2}+b^{2}=10a + 8b-41$，$\therefore a^{2}-10a + 25 + b^{2}-8b + 16 = 0$，$\therefore (a - 5)^{2}+(b - 4)^{2}=0.$
$\because (a - 5)^{2}\geq0$，$(b - 4)^{2}\geq0$，$\therefore a - 5 = 0$，$b - 4 = 0$，$\therefore a = 5$，$b = 4$，$\therefore 5 - 4＜c＜5 + 4$，即$1＜c＜9$.
(3)原式$=-2x^{2}+4xy-2y^{2}-y^{2}-6y-9 + 16=-2(x - y)^{2}-(y + 3)^{2}+16.$
$\because -2(x - y)^{2}\leq0$，$-(y + 3)^{2}\leq0$，$\therefore$多项式$-2x^{2}+4xy-3y^{2}-6y + 7$的最大值是$16.$