《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

17.(9分)(信阳月考)如图,阳阳为了测量楼AB的高,在旗杆CD与楼之间选定一点P,量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度CD相等，均为10米,量得旗杆与楼之间距离DB = 36米.若∠CPD = 36°,∠APB = 54°,求楼AB的高.

答案： 17.解：
∵∠CPD = 36°，∠APB = 54°，∠CDP = ∠PBA = 90°，
∴∠PCD = ∠APB = 54°。
又∠CDP = ∠PBA，CD = PB，
∴△CPD ≌ △PAB，
∴DP = AB。
∵DB = 36米，PB = 10米，
∴AB = DP = DB - PB = 36 - 10 = 26（米）。
答：楼AB的高是26米。

18.(9分)下面是多媒体上展示的一道习题,请你将解题过程补充完整.
如图,在△ABC中,∠ABC = ∠ACB,点D,E分别在边AB,AC上,∠A = ∠ABE,∠CDB = ∠CBD,BE与CD交于点F,判断∠BDF与∠BFD的数量关系,并说明理由.
解:∠BDF与∠BFD的数量关系是∠BDF = ∠BFD.

理由:设∠A = α,∠ABC = β,
∵∠ABC = ∠ACB,
∴α + 2β =180°.
又∠A = ∠ABE = α,
∴∠CBF = ∠ABC - ∠ABE =β - α.
∵∠CDB = ∠CBD = β,
∴∠DCB = 180° - ∠CBD - ∠CDB =180° - 2β.
∵∠BFD是△BCF的外角,
∴∠BFD = ∠CBF + ∠DCB =180° - β - α.
∴∠BDF与∠BFD的数量关系是∠BDF = ∠BFD.

答案： 18.解：∠BDF与∠BFD的数量关系是∠BDF = ∠BFD，理由如下：
设∠A = α，∠ABC = β。
∵∠ABC = ∠ACB，
∴α + 2β = 180°。
又∠A = ∠ABE = α，
∴∠CBF = ∠ABC - ∠ABE = β - α。
∵∠CDB = ∠CBD = β，
∴∠DCB = 180° - ∠CBD - ∠CDB = 180° - 2β。
∵∠BFD是△BCF的外角，
∴∠BFD = ∠CBF + ∠DCB = β - α + 180° - 2β = 180° - β - α。
又∠BDF = 180° - β - α，
∴∠BDF与∠BFD的数量关系是∠BDF = ∠BFD。

19.(9分)在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,∠B＜∠C,
(1)如图1,AE是△ABC边BC上的高,∠B = 36°,∠C = 70°,求∠DAE的度数;
(2)如图2,点E在AD上,EF⊥BC于点F,猜想∠DEF与∠B,∠C的数量关系,并证明你的结论.

答案：
19.解：
(1)
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC。
∵AE⊥BC，
∴∠CAE = 90° - ∠C，
∴∠DAE = ∠CAD - ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC - (90° - ∠C) = $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠C) - (90° - ∠C) = $\frac{1}{2}$∠C - $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)。
∵∠B = 36°，∠C = 70°，
∴∠DAE = $\frac{1}{2}$(70° - 36°) = 17°。
(2)结论：∠DEF = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)。
证明：如图，过点A作AG⊥BC于点G。
又EF⊥BC，
∴AG//EF，
∴由
(1)可得∠DAG = ∠DEF，∠DAG = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)。
∴∠DEF = $\frac{1}{2}$(∠C - ∠B)。