《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

23.(11分)(1)如图1,在四边形ABCD中,AB = AD,∠BAD = 120°,∠ABC = ∠D = 90°,点E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF = 60°,延长EB到点G,使BG = DF,连接AG,可以先证明△ABG≌△ADF,再证明△AEF≌△AEG.由此可得线段BE,EF,DF之间的数量关系为EF = BE + DF.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB = AD,∠B + ∠D = 180°,点E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD.上述(1)中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,四边形ABCD是边长为7的正方形,∠EBF = 45°,请直接写出△DEF的周长.

答案： 23.解：
(1)EF = BE + DF
(2)结论EF = BE + DF仍然成立。
证明：如图，延长FD到点G，使DG = BE，连接AG。
∵∠B + ∠ADC = 180°，∠ADG + ∠ADC = 180°，
∴∠B = ∠ADG。
又BE = DG，AB = AD，
∴△ABE ≌ △ADG，
∴AE = AG，∠BAE = ∠DAG。
∵∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = ∠EAF。
又
∵AF = AF，
∴△AEF ≌ △AGF，
∴EF = GF。
又GF = DG + DF = BE + DF，
∴EF = BE + DF。
(3)△DEF的周长为14。
解法提示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD，∠ABC + ∠D = 180°，∠ABC = 90°。
∵∠EBF = 45°，
∴∠EBF = $\frac{1}{2}$∠ABC。
同
(2)知，EF = BE + DF，
∴△DEF的周长为DE + DF + EF = DE + DF + BE + DF = AD + CD = 14。