《2025年昕金立文化单元金卷八年级数学上册人教版》

21.(10分)我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”,如$\frac{x-1}{x+1},\frac{x^2}{x-1}$;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”,如$\frac{3}{x+1},\frac{2x}{x^2+1}$.假分式也可以化为整式与真分式的和的形式,
如$\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1)-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$.
根据以上材料,解决下列问题:
(1)分式$\frac{1}{7x}$是真分式(填“真分式”或“假分式”);
(2)将假分式$\frac{x^2+4x-5}{x+2}$化为整式与真分式的和的形式;
(3)当$x$取什么整数时,$\frac{6x-12}{2x-2}+\frac{x+1}{x}÷\frac{x^2-1}{x^2-2x}$的值为整数?

答案： 21.解：
(1)真分式
(2)原式$=\frac{x^{2}+4x + 4 - 9}{x + 2}$
$=\frac{(x + 2)^{2}-9}{x + 2}$
$=x + 2-\frac{9}{x + 2}$
(3)原式$=\frac{-6(x - 2)}{2(x - 1)}+\frac{x + 1}{x}·\frac{x(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{-3(x - 2)}{x - 1}+\frac{x - 2}{x - 1}$
$=\frac{-2x + 4}{x - 1}$
$=\frac{-2(x - 1)+2}{x - 1}$
$=-2+\frac{2}{x - 1}.$
$x\neq\pm1$且$x\neq0，$$x\neq2，$
$\therefore$当x = 3时，原式=-2 + 1 = -1，即原式的值为整数.

22.(10分)解方程:
①$\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x+1}-1$的解为$x=$0;
②$\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x+1}-1$的解为$x=$1;
③$\frac{3}{x+1}=\frac{6}{x+1}-1$的解为$x=$2.
$·s$
(1)完成填空并根据你发现的规律直接写出第④个方程及它的解;
(2)请你用一个含正整数$n$的式子表示上述规律,并写出求解过程.

答案： 22.解：
(1)0 1 2
第④个方程为$\frac{4}{x + 1}=\frac{8}{x + 1}-1，$解为x = 3.
(2)第⑦个方程为$\frac{n}{x + 1}=\frac{2n}{x + 1}-1，$
方程两边同时乘以(x + 1)，得n = 2n-(x + 1)，解得x = n - 1，
经检验，x = n - 1是原方程的解.
$\therefore$原方程的解为x = n - 1.