《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

11. 【题型三、五】(2025·吉林长春第十一高中月考)已知$f(\alpha) = \frac{\tan(\pi - \alpha)\sin(\pi - \alpha)\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{\cos(3\pi + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}$.
(1)化简$f(\alpha)$；
(2)若$\cos(2\pi - \alpha) = -\frac{4}{5}$，且$\alpha$为第三象限角，求$f(\alpha)$的值.

答案： 11.解：
(1)$f(\alpha)=\frac{\tan(\pi-\alpha)\sin(\pi-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}{\cos(3\pi+\alpha)\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=-\tan\alpha\sin\alpha\cos\alpha-\cos(-\sin\alpha)=-\tan\alpha$.
(2)由$\cos(2\pi-\alpha)=-\frac{4}{5}$,得$\cos\alpha=-\frac{4}{5}$,又$\alpha$为第三象限角,则$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=-\frac{3}{5}$,所以$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3}{4}$,则$f(\alpha)=-\tan\alpha=-\frac{3}{4}$.
【规律方法】
(1)对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简求变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少.
(2)对于$\pi\pm\alpha$和$\frac{\pi}{2}\pm\alpha$这两套诱导公式,切记运用前一套公式不变名,而运用后一套公式必须变名.

(2025·安徽部分高中高一下联考)化简下列各式：
(1)$\frac{\cos^2(3\pi - \alpha)\tan(\pi + \alpha)}{\sin(\pi + \alpha)\cos(-\alpha)}$；
(2)$\sqrt{1 - 2\sin 200^{\circ}\cos 200^{\circ}} + \cos 160^{\circ} - \sin 340^{\circ}$.

答案： 解：
(1)$\frac{\cos^{2}(3\pi-\alpha)\tan(\pi+\alpha)}{\sin(\pi+\alpha)\cos(-\alpha)}=\frac{\cos^{2}\alpha\tan\alpha}{-\sin\alpha\cos\alpha}=-1$.
(2)$\sqrt{1 - 2\sin200^{\circ}\cos200^{\circ}}+\cos160^{\circ}-\sin340^{\circ}=\vert\sin200^{\circ}-\cos200^{\circ}\vert+\cos160^{\circ}-\sin340^{\circ}=\cos20^{\circ}-\sin20^{\circ}-\cos20^{\circ}+\sin20^{\circ}=0$.