《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

4. 【题型一、二、五】（2025·江苏盐城月考）已知$2^{m}=3$，$n=\log_{2}5$，则$2^{2m + n}=$45.（用数字作答）

答案： 4.45【详解】由$n=\log_{2}5$，可得$2^{n}=5$，又$2^{m}=3$，则$2^{2m + n}=(2^{m})^{2}·2^{n}=3^{2}×5 = 45$。

5. 【题型一、二、五】（2025·吉林长春期末）已知$a\gt0$且$a\neq1$，若$\log_{a}2 = 2m$，$\log_{a}3 = n$，则$a^{4m - n}=$$\frac{4}{3}$.

答案： 5.$\frac{4}{3}$【详解】由$a＞0$且$a\neq1$，$\log_{a}2 = 2m$，$\log_{a}3 = n$，得$a^{2m}=2$，$a^{n}=3$，则$a^{4m}=4$，$a^{n}=3$，故$a^{4m - n}=\frac{a^{4m}}{a^{n}}=\frac{4}{3}$。

6. 【题型一、三、五】（2025·山东桓台第一中学期中）计算：$(\frac{25}{9})^{\frac{1}{2}}-\sqrt{(-2)^{2}}+e^{\ln2}+\lg\sqrt[5]{100}=$$\frac{31}{15}$.

答案： 6.$\frac{31}{15}$【详解】$(\frac{25}{9})^{\frac{1}{2}}-\sqrt{(-2)^{2}}+\mathrm{e}^{\ln2}+\lg\sqrt[5]{100}=[(\frac{5}{3})^{2}]^{\frac{1}{2}}-\sqrt{4}+2+\lg100^{\frac{2}{5}}=\frac{5}{3}-2 + 2+\frac{2}{5}=\frac{31}{15}$。

7. 【题型一、三、五】计算：$2^{\log_{2}3}+2\log_{3}1 - 3\lg10 + 3\ln1=$0.

答案： 7.0【详解】$2^{\log_{2}3}+2\log_{3}1 - 3\lg10 + 3\ln1 = 3+2×0 - 3×1+3×0 = 0$。

8. 【题型一、四】求下列各式中$x$的值.
(1)$\log_{27}x=-\frac{2}{3}$；
(2)$\log_{x}16 = - 4$；
(3)$\lg\frac{1}{1000}=x$；
(4)$-\ln e^{-3}=x$.

答案： 8.解：
(1)$x = 27^{-\frac{2}{3}}=(3^{3})^{-\frac{2}{3}}=3^{-2}=\frac{1}{9}$。
(2)$x^{-4}=16\Rightarrow(\frac{1}{x})^{4}=2^{4}$，而$x＞0$且$x\neq1$，所以$\frac{1}{x}=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}$。
(3)$10^{x}=\frac{1}{1000}=10^{-3}\Rightarrow x = - 3$。
(4)$\ln e^{-3}=-x\Rightarrow e^{-3}=e^{-x}\Rightarrow x = 3$。

9. 【题型一、四、五】求下列各式中$x$的值.
(1)$\log_{8}[\log_{7}(\log_{2}x)] = 0$；
(2)$\log_{2}[\log_{3}(\log_{2}x)] = 1$.

答案： 9.解：
(1)由$\log_{8}[\log_{7}(\log_{2}x)] = 0$，得$\log_{7}(\log_{2}x)=1$，所以$\log_{2}x = 7$，所以$x = 2^{7}=128$。
(2)由$\log_{2}[\log_{3}(\log_{2}x)] = 1$，得$\log_{3}(\log_{2}x)=2$，所以$\log_{2}x = 3^{2}=9$，所以$x = 2^{9}=512$。
【规律方法】
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论：$\log_{a}1 = 0$和$\log_{a}a = 1(a＞0$且$a\neq1)$，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算。
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“$\log$”后再求解。

10. 【题型一、三、五】求下列各式的值.
(1)$\log_{(2 - \sqrt{3})}(2 + \sqrt{3})^{-1}$；
(2)$\log_{27}\frac{1}{9}$；
(3)$\lg1+\lg10 + 10^{\lg5}$；
(4)$\ln e + 1 + e^{\ln3}$.

答案：
10.解：
(1)设$\log_{(2 - \sqrt{3})}(2 + \sqrt{3})^{-1}=x$，则$(2 - \sqrt{3})^{x}=(2 + \sqrt{3})^{-1}=2 - \sqrt{3}$，所以$x = 1$。
(2)设$\log_{27}\frac{1}{9}=x$，则$27^{x}=\frac{1}{9}$，即$3^{3x}=3^{-2}$，所以$x = -\frac{2}{3}$。
(3)$\lg1+\lg10 + 10^{\lg5}=0 + 1+5 = 6$。
(4)$\ln e+e^{\ln3}=1 + 3 = 5$。