《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

3. 【题型三】（2025·辽宁沈阳期中）若不等式 $ x^{2} + x + m ＜ 0 $ 的解集为 $ \varnothing $，则实数 $ m $ 的取值范围是（B）

A.$ m ＞ \frac{1}{4} $
B.$ m \geq \frac{1}{4} $
C.$ m ＜ \frac{1}{4} $
D.$ m \leq \frac{1}{4} $

答案： 3.B【详解】不等式$x^{2} + x + m ＜ 0$的解集为$\varnothing$，则需满足$\Delta = 1 - 4m \leq 0$，解得$m \geq \frac{1}{4}$.

4. 【题型三、四】已知不等式 $ ax^{2} + bx + c ＜ 0 $ 的解集为 $ \{ x | x ＜ - 1 $ 或 $ x ＞ 3 \} $，则下列结论正确的是（D）

A.$ a ＞ 0 $
B.$ c ＜ 0 $
C.$ a + b + c ＜ 0 $
D.$ cx^{2} - bx + a ＜ 0 $ 的解集为 $ \{ x | - \frac{1}{3} ＜ x ＜ 1 \} $

答案： 4.D【详解】对于A，由已知可得$y = ax^{2} + bx + c$开口向下，即$a ＜ 0$，故A错误；对于B,C,D，$x = -1,x = 3$是方程$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根，所以$\begin{cases}-\frac{b}{a} = -1 + 3 = 2\frac{c}{a} = -1 × 3 = -3\end{cases} \Rightarrow b = -2a,c = -3a$，所以$c ＞ 0$，$a + b + c = a - 2a - 3a = -4a ＞ 0 \Rightarrow cx^{2} - bx + a = -3ax^{2} + 2ax + a ＜ 0 \Rightarrow 3x^{2} - 2x - 1 ＜ 0 \Rightarrow -\frac{1}{3} ＜ x ＜ 1$，故B,C错误，D正确.

5. 【题型三、五】若不等式 $ (a - 2)x^{2} + 2(a - 2)x - 4 ＜ 0 $ 对一切 $ x \in \mathbf{R} $ 恒成立，则实数 $ a $ 的取值范围是（C）

A.$ a \leq 2 $
B.$ - 2 \leq a \leq 2 $
C.$ - 2 ＜ a \leq 2 $
D.$ a ＜ - 2 $

答案： 5.C【详解】当$a - 2 = 0$，即$a = 2$时，不等式为$-4 ＜ 0$，对一切$x \in R$恒成立. 当$a \neq 2$时，需满足$\begin{cases}a - 2 ＜ 0\\\Delta = 4(a - 2)^{2} + 16(a - 2) ＜ 0\end{cases}$，即$\begin{cases}a - 2 ＜ 0\\a - 2 + 4 ＞ 0\end{cases}$，解得$-2 ＜ a ＜ 2$. 综上可知，实数$a$的取值范围是$(-2,2]$.

6. 【题型三、六】某市有块三角形荒地，如图中 $ \triangle ABC $ 所示，$ \angle A = 90^{\circ},AB = AC = 200 $（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地 $ ADEF $，其中 $ D,E,F $ 三点分别在线段 $ AB,BC,CA $ 上，若要求绿地的面积不少于 7500 平方米，则 $ AD $ 的长度（单位：米）范围是（B）


A.$ 40 \leq AD \leq 160 $
B.$ 50 \leq AD \leq 150 $
C.$ 55 \leq AD \leq 145 $
D.$ 60 \leq AD \leq 140 $

答案： 6.B【详解】$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$\triangle ABC$为等腰直角三角形，设$AD = x$米，则$EF = FC = AD = x$米，$FA = (200 - x)$米，依题意有$x(200 - x) \geq 7500$，解得$50 \leq x \leq 150$. 即$AD$的长度（单位：米）范围是$50 \leq AD \leq 150$.

7. 【题型二、三】已知关于 $ x $ 的不等式 $ x^{2} - (a + 1)x + a ＜ 0 $ 恰有四个整数解，则实数 $ a $ 的取值范围是（C）

A.$ \{ a | 5 ＜ a \leq 6 \} $
B.$ \{ a | - 4 \leq a ＜ 3 \} $
C.$ \{ a | - 4 \leq a ＜ 3 $ 或 $ 5 ＜ a \leq 6 \} $
D.$ \{ a | - 4 \leq a ＜ - 3 $ 或 $ 5 \leq a ＜ 6 \} $

答案： 7.C【详解】不等式$x^{2} - (a + 1)x + a ＜ 0$，可化为$(x - a)(x - 1) ＜ 0$，当$a = 1$时，不等式$x^{2} - (a + 1)x + a ＜ 0$的解集为空集，不合题意；当$a ＞ 1$时，不等式$x^{2} - (a + 1)x + a ＜ 0$的解集为$\{x|1 ＜ x ＜ a\}$，要使不等式$x^{2} - (a + 1)x + a ＜ 0$恰有四个整数解，则$5 ＜ a \leq 6$，当$a ＜ 1$时，不等式$x^{2} - (a + 1)x + a ＜ 0$的解集为$\{x|a ＜ x ＜ 1\}$，要使不等式$x^{2} - (a + 1)x + a ＜ 0$恰有四个整数解，则$-4 \leq a ＜ -3$. 综上可得，实数$a$的取值范围为$\{a|-4 \leq a ＜ -3$或$5 ＜ a \leq 6\}$.

8. 【题型二、三】已知关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2} + bx + c ＞ 0 $ 的解集是 $ \{ x | x ＜ 1 $ 或 $ x ＞ 3 \} $，则不等式 $ bx^{2} + ax + c \geq 0 $ 的解集是（B）

A.$ \{ x | - 1 \leq x \leq \frac{3}{4} \} $
B.$ \{ x | - \frac{3}{4} \leq x \leq 1 \} $
C.$ \{ x | x \leq - \frac{3}{4} $ 或 $ x \geq 1 \} $
D.$ \{ x | x \leq - 1 $ 或 $ x \geq \frac{3}{4} \} $

答案： 8.B【详解】$\because$关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集是$\{x|x ＜ 1$或$x ＞ 3\}$，$\therefore 1$和$3$是方程$ax^{2} + bx + c = 0$的两个实数根，且$a ＜ 0$，则$\begin{cases}1 + 3 = -\frac{b}{a}\\1 × 3 = \frac{c}{a}\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -4a\\c = 3a\end{cases}$，所以不等式$bx^{2} + ax + c \geq 0$等价于$-4ax^{2} + ax + 3a \geq 0(a ＞ 0)$，即$4x^{2} - x - 3 \leq 0$，解得$-\frac{3}{4} \leq x \leq 1$. 所以不等式$bx^{2} + ax + c \geq 0$的解集是$\{x|-\frac{3}{4} \leq x \leq 1\}$.

9. 【题型二、三】（2025·广东佛山期中）若关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2} + bx - 1 ＞ 0 $ 的解集为 $ \{ x | 1 ＜ x ＜ 2 \} $，则关于 $ x $ 的不等式 $ \frac{ax + 1}{bx - 1} ＞ 0 $ 的解集为$\{x|\frac{2}{3} ＜ x ＜ 2\}$。

答案： 9.$\{x|\frac{2}{3} ＜ x ＜ 2\}$【详解】由题意可知$a ＜ 0$，且$1$和$2$是方程$ax^{2} + bx - 1 = 0$的两根，所以$\begin{cases} -\frac{b}{a} = 3\frac{-1}{a} = 2 \end{cases}$解得$\begin{cases} a = -\frac{1}{2}\\b = \frac{3}{2} \end{cases}$所以$\frac{ax + 1}{bx - 1} ＞ 0$，即为$\frac{-\frac{1}{2}x + 1}{\frac{3}{2}x - 1} ＞ 0$，可化为$(-\frac{1}{2}x + 1)(\frac{3}{2}x - 1) ＞ 0$，即$(x - 2) · (x - \frac{2}{3}) ＜ 0$，解得$\frac{2}{3} ＜ x ＜ 2$. 所以所求不等式的解集是$\{x|\frac{2}{3} ＜ x ＜ 2\}$.

10. 【题型五】已知关于 $ x $ 的不等式 $ 3mx^{2} - mx - 2 ＜ 0 $ 的解集为 $ \mathbf{R} $，则实数 $ m $ 的取值范围是$-24 ＜ m \leq 0$。

答案： 10.$-24 ＜ m \leq 0$【详解】当$m = 0$时，$3mx^{2} - mx - 2 = -2 ＜ 0$在$R$上恒成立；当$m \neq 0$时，只需$\begin{cases} \Delta = m^{2} + 24m ＜ 0\\3m ＜ 0 \end{cases}$，可得$-24 ＜ m ＜ 0$. 综上，$-24 ＜ m \leq 0$.

11. 【题型六】某地每年销售木材约 20 万 $ m^{3} $，每立方米的价格为 2400 元。为了减少木材消耗，决定按销售收入的 $ t\% $ 征收木材税，这样每年的木材销售量减少 $ \frac{5t}{2} $ 万 $ m^{3} $，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于 900 万元，则 $ t $ 的取值范围是$\{t|3 \leq t \leq 5\}$。

答案： 11.$\{t|3 \leq t \leq 5\}$【详解】设按销售收入的$t\%$征收木材税时，税金收入为$y$万元，则$y = 2400(20 - \frac{5}{2}t) × t\% = 60(8t - t^{2})$，令$y \geq 900$，即$60(8t - t^{2}) \geq 900$，解得$3 \leq t \leq 5$.

12. 【题型六】若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度 $ h $ 与时间 $ t $ 满足关系式：$ h = v_{0}t - \frac{1}{2}gt^{2} $，其中 $ g $ 取 $ 10 m/s^{2} $。已知一名同学以初速度 8 m/s 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 3 m 以上的位置停留$\frac{2}{5}$s。

答案： 12.$\frac{2}{5}$【详解】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度$h$与时间$t$满足关系式$h = v_{0}t - \frac{1}{2}gt^{2}$，因为$v_{0} = 8m/s$，所以$h = 8t - \frac{1}{2} × 10t^{2}$，令$h = 3$，得$3 = 8t - 5t^{2}$，即$5t^{2} - 8t + 3 = 0$，解得$t_{1} = \frac{3}{5},t_{2} = 1$，所以停留的时间为$t_{2} - t_{1} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.