《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

5. 【题型一】已知函数 $ f(x) = 20 · 3^{-x} - x $ 的零点 $ x_{0} \in (k,k + 1) $，$ k \in \mathbf{Z} $，则 $ k = $2。

答案： 5.2[详解]因为函数y = 3⁻ˣ为R上的减函数，所以函数f(x)=20·3⁻ˣ - x为R上的减函数，又f
(2)=20×3⁻² - 2=$\frac{20}{9}$ - 2=$\frac{2}{9}$＞0，f
(3)=20×3⁻³ - 3=$\frac{20}{27}$ - 3＜0，故f(x)=20·3⁻ˣ - x在(2,3)上有唯一零点，结合题意可知k = 2.

6. 【题型三】设函数 $ g(x) = -6x^{3} - 13x^{2} - 12x - 3 $，求 $ g(x) $ 在区间 $ (-1,0) $ 内零点的近似解。（精确到 $ 0.1 $）

答案： 6.解：由g(-1)=2＞0，g
(0)= - 3＜0，而$\frac{-1 + 0}{2}$= - $\frac{1}{2}$，则g(-$\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{2}$＞0，$\frac{-\frac{1}{2}+0}{2}$= - $\frac{1}{4}$，则g(-$\frac{1}{4}$)= - $\frac{23}{32}$＜0，$\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}{2}$= - $\frac{3}{8}$，则g(-$\frac{3}{8}$)= - $\frac{3}{256}$≈ - 0.0117＜0，$\frac{-\frac{3}{8}+0}{2}$= - $\frac{3}{16}$，则g(-$\frac{7}{16}$)=$\frac{541}{2048}$≈0.2642＞0，由|g(-$\frac{3}{8}$)|＜|g(-$\frac{7}{16}$)|，所以区间(-1,0)内零点的近似解为x = - $\frac{3}{8}$≈ - 0.4.

7. 【题型三】已知函数 $ f(x) = \log_{2}(1 - x) - \log_{2}(1 + x) $。
(1) 求函数 $ f(x) $ 的定义域。
(2) 判断 $ f(x) $ 的奇偶性。
(3) 方程 $ f(x) = x + 1 $ 是否有根？如果有根 $ x_{0} $，请求出一个长度为 $ \frac{1}{4} $ 的区间 $ (a,b) $，使 $ x_{0} \in (a,b) $；如果没有，请说明理由。（注：区间 $ (a,b) $ 的长度等于 $ b - a $）

答案： 7.解：
(1)要使函数有意义，则$\begin{cases}1 - x ＞ 0 \\1 + x ＞ 0 \end{cases}$，解得 - 1＜x＜1，故函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)由
(1)知函数f(x)的定义域为(-1,1)，关于原点对称，又f(-x)=log₂(1 + x) - log₂(1 - x)= - [log₂(1 - x) - log₂(1 + x)]= - f(x)，所以f(x)为奇函数.
(3)由题意知方程f(x)=x + 1等价于log₂(1 - x) - log₂(1 + x)=x + 1，可化为(1 + x)2ˣ⁺¹ + x - 1 = 0，x∈(-1,1).设g(x)=(1 + x)2ˣ⁺¹ + x - 1，x∈(-1,1)，则g(-$\frac{1}{2}$)=(1 - $\frac{1}{2}$)2⁻¹/²⁺¹ - 1=$\frac{\sqrt{2}-3}{2}$＜0，g
(0)=2 - 1 = 1＞0，函数g(x)的图象连续不断，所以g(-$\frac{1}{2}$)·g
(0)＜0，故方程f(x)=x + 1在(-$\frac{1}{2}$,0)上必有实根.又g(-$\frac{1}{4}$)=$\frac{3}{4}$×2³/⁴ - $\frac{5}{4}$＞0，所以g(-$\frac{1}{2}$)·g(-$\frac{1}{4}$)＜0，故方程f(x)=x + 1在(-$\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{4}$)上必有实根.又区间长度：-$\frac{1}{4}$ - (-$\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{4}$，所以满足题意的一个区间为(-$\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{4}$).