《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

13. 【题型二、五】(2025·辽宁丹东期末)已知函数$f(x)=x^{2}-(m - 1)x + 2m + 2$.
(1)若$f(x)$为偶函数,求实数$m$的值;
(2)若对$\forall x∈[-1,1],f(x)\leq x - 1$,求实数$m$的取值范围.

答案： 13.解:
(1)因为$f(x)$为偶函数，所以$f(-x)=f(x)$，所以$(-x)^{2}-(m - 1)(-x)+2m + 2=x^{2}-(m - 1)x+2m + 2$，整理得$2(m - 1)x = 0$，因为$x\in\mathbf{R}$，所以$m - 1 = 0$，即$m = 1$.
(2)若对$\forall x\in[-1,1]$，$f(x)\leq x - 1$，则有$x^{2}-mx+2m + 3\leq0$，令$g(x)=x^{2}-mx+2m + 3$，$x\in[-1,1]$，所以函数$g(x)\leq0$在$[-1,1]$上恒成立，只需$\begin{cases}g(1)\leq0\\g(-1)\leq0\end{cases}$，即$\begin{cases}m + 4\leq0\\3m + 4\leq0\end{cases}$，解得$m\leq - 4$，所以$m$的取值范围为$m\leq - 4$.

14. 已知函数$f(x)=\frac{mx + n}{x^{2}+1}$是定义在$[-1,1]$上的奇函数,且$f(1)=1$.
(1)求$m,n$的值;
(2)用定义法判定$f(x)$的单调性;
(3)求使$f(a - 1)+f(a^{2}-1)\lt0$成立的实数$a$的取值范围.

答案： 14.解:
(1)因为函数$f(x)$是定义在$[-1,1]$上的奇函数，所以$\begin{cases}f(0)=0\\f(1)= -f(-1)\end{cases}$，即$\begin{cases}n=0\frac{m + n}{2}=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=2\\n=0\end{cases}$，$f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$.由题意，$f(x)$的定义域$[-1,1]$关于原点对称，且对任意$x\in[-1,1]$，都有$f(-x)=\frac{-2x}{(-x)^{2}+1}=-\frac{2x}{x^{2}+1}= -f(x)$，所以$f(x)$是奇函数，满足题意.故$m = 2$，$n = 0$.
(2)$f(x)$在$[-1,1]$上是增函数.由
(1)知，$f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$，$x\in[-1,1]$.证明：设$\forall x_{1},x_{2}\in[-1,1]$，且$x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{2x_{1}}{x_{1}^{2}+1}-\frac{2x_{2}}{x_{2}^{2}+1}=\frac{2(x_{2}-x_{1})(x_{1}x_{2}-1)}{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}$，
∵$-1\leq x_{1}＜x_{2}\leq1$，
∴$x_{2}-x_{1}＞0$，$x_{1}x_{2}-1＜0$，$(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)＞0$，
∴$f(x_{1})-f(x_{2})＜0$，
∴$f(x_{1})＜f(x_{2})$，
∴$f(x)$在$[-1,1]$上是增函数.
(3)$f(a - 1)+f(a^{2}-1)＜0\Leftrightarrow f(a - 1)＜-f(a^{2}-1)=f(1 - a^{2})$，因为$f(x)$是定义在$[-1,1]$上的奇函数，所以$-f(a^{2}-1)=f(1 - a^{2})$，由
(2)知$f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$在$[-1,1]$上是增函数，则由$f(a - 1)＜f(1 - a^{2})$可得$\begin{cases}-1\leq a - 1\leq1\\-1\leq a^{2}-1\leq1\\a - 1＜1 - a^{2}\end{cases}$，即$\begin{cases}0\leq a\leq2\\0\leq a^{2}\leq2\\a - 1＜1 - a^{2}\end{cases}$，解得$0\leq a＜1$.故实数$a$的取值范围是$[0,1)$.

(原创题)下列函数是奇函数的是（B）

A.$f(x)=\begin{cases}x^{2},x∈[0,1],\\-x^{2},x∈(-1,0)\end{cases}$
B.$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}(x∈(-2,0)\cup(0,2))$
C.$f(x)=x-\frac{1}{x}(x\neq0$,且$x\neq1)$
D.$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}(x∈\mathbf{R})$

答案： B　[详解]一个函数为奇函数或偶函数的前提条件是其定义域关于原点对称，故排除A,C选项，若一个函数为奇函数，除了定义域要关于原点对称，还要满足条件$f(-x)= -f(x)$.对于B选项，
∵$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$，
∴$g(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}= -g(x)$，所以B选项符合题意.对于D选项，
∵$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$，
∴$g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(x)$，故D选项不符合题意，排除.