《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

1. (教材改编题)已知 $ x ＞ 0 $，则 $ \frac{9}{x} + x $ 的最小值为（A）

A.6
B.5
C.4
D.3

答案： 1.A 【详解】$\because x＞0, \therefore \frac{9}{x}+x \geqslant 2 \sqrt{\frac{9}{x} · x}=6$，当且仅当$x=\frac{9}{x}$，即$x=3$时，取得最小值6.

2. (2025·吉林长春期中)已知正数 $ x,y $ 满足 $ x + y = 4 $，则 $ xy $ 的最期值是（B）

A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 2.B 【详解】因为正数$x,y$满足$x+y=4$，所以有$4=x+y \geqslant 2\sqrt{xy} \Rightarrow \sqrt{xy} \leqslant 2 \Rightarrow xy \leqslant 4$，当且仅当$x=y=2$时取等号.

3. 已知正数 $ a,b $ 满足 $ \frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1 $，则 $ ab $ 的最小值为12。

答案： 3.12 【详解】因为$1=\frac{1}{a}+\frac{3}{b} \geqslant 2 \sqrt{\frac{1}{a} · \frac{3}{b}}$，所以$ab \geqslant 12$，当且仅当$\frac{1}{a}=\frac{3}{b}$，即$a=2,b=6$时等号成立，所以$ab$的最小值为12.

4. $ x^{2} + \frac{16}{x^{2} + 1} $ 的最小值为（C）

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 4.C 【详解】由题意得$x^{2}+\frac{16}{x^{2}+1}=x^{2}+1+\frac{16}{x^{2}+1}-1 \geqslant 2 \sqrt{(x^{2}+1) · \frac{16}{x^{2}+1}}-1=7$，当且仅当$x^{2}+1=\frac{16}{x^{2}+1}$，即$x^{2}=3$时，等号成立，所以$x^{2}+\frac{16}{x^{2}+1}$的最小值为7.

5. 已知 $ m ＞ -2,n ＞ 1 $，且 $ m + n = 3 $，则 $ \sqrt{m + 2} + \sqrt{n - 1} $ 的最大值为（C）

A.6
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ 2\sqrt{2} $
D.$ \frac{2 + \sqrt{3}}{2} $

答案： 5.C 【详解】由$m ＞ -2,n ＞ 1$，可得$m + 2 ＞ 0,n - 1 ＞ 0$且$m + n = 3$，得$4=m + 2 + n - 1 \geqslant 2 \sqrt{(m + 2)(n - 1)}$，当且仅当$m + 2 = n - 1$，即$m = 0,n = 3$时取等号，因此$\sqrt{m + 2}+\sqrt{n - 1}=\sqrt{(\sqrt{m + 2}+\sqrt{n - 1})^{2}}=\sqrt{4 + 2\sqrt{(m + 2)(n - 1)}} \leqslant \sqrt{4 + 4}=2\sqrt{2}$，所以$\sqrt{m + 2}+\sqrt{n - 1}$的最大值为$2\sqrt{2}$.

6. 已知 $ x ＞ 2y ＞ 0 $，则 $ x + \frac{8}{x + 2y} + \frac{2}{x - 2y} $ 的最小值为（C）

A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 6.C 【详解】$\because x ＞ 2y ＞ 0, \therefore x - 2y ＞ 0,x + 2y ＞ 0,x+\frac{8}{x + 2y}+\frac{2}{x - 2y}=\frac{1}{2}[(x + 2y)+(x - 2y)]+\frac{8}{x + 2y}+\frac{2}{x - 2y}=\frac{x + 2y}{2}+\frac{8}{x + 2y}+\frac{x - 2y}{2}+\frac{2}{x - 2y} \geqslant 2\sqrt{\frac{x + 2y}{2} · \frac{8}{x + 2y}}+2\sqrt{\frac{x - 2y}{2} · \frac{2}{x - 2y}}=6$，当且仅当$\begin{cases} \frac{x + 2y}{2}=\frac{8}{x + 2y} \\ \frac{x - 2y}{2}=\frac{2}{x - 2y} \end{cases}$即$\begin{cases} x = 3 \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$时等号成立.所以$x+\frac{8}{x + 2y}+\frac{2}{x - 2y}$的最小值为6.

7. 已知 $ a,b \in \mathbf{R}^{+} $，且 $ ab + 2a + b - 3 = 0 $，则 $ a + b $ 的最小值为（C）

A.$ \frac{3}{2} $
B.$ \frac{5}{3} $
C.$ 2\sqrt{5} - 3 $
D.$ 2\sqrt{6} - 3 $

答案： 7.C 【详解】由$ab + 2a + b - 3 = 0$得$a=\frac{3 - b}{b + 2}$，即$a + b=\frac{3 - b}{b + 2}+b=\frac{5}{b + 2}+b - 1=\frac{5}{b + 2}+(b + 2)-3 \geqslant 2\sqrt{5}-3$，当且仅当$a=\sqrt{5}-1,b=\sqrt{5}-2$时取等号.

8. 已知 $ a,b \in \mathbf{R}^{+} $，$ a + 2b - 2ab = 0 $，则 $ 8a + b $ 的最小值是（B）

A.$ 8\sqrt{2} $
B.$ \frac{25}{2} $
C.$ \frac{27}{2} $
D.17

答案： 8.B 【详解】方法一：$a + 2b - 2ab = 0 \Rightarrow a=\frac{2b}{2b - 1}(b＞\frac{1}{2})$，则$8a + b=\frac{16b}{2b - 1}+b=\frac{8(2b - 1)+8}{2b - 1}+b=8+\frac{8}{2b - 1}+\frac{2b - 1}{2}+\frac{1}{2} \geqslant \frac{17}{2}+2\sqrt{\frac{8}{2b - 1} · \frac{2b - 1}{2}}=\frac{25}{2}$，当且仅当$\frac{8}{2b - 1}=\frac{2b - 1}{2}$，即$a=\frac{5}{4},b=\frac{5}{2}$时取等号.方法二：$a + 2b - 2ab = 0 \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=1$，则$8a + b=1 × (8a + b)=(\frac{1}{a}+\frac{1}{2b})(8a + b)=\frac{17}{2}+(\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}) \geqslant \frac{17}{2}+2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{4a}{b}}=\frac{25}{2}$，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{4a}{b}$，即$a=\frac{5}{4},b=\frac{5}{2}$时取等号.

9. 已知 $ x ＞ 0,z ＞ 0 $，且 $ y \geq z - x $，则 $ \frac{y}{x} + \frac{9x}{z} $ 的最小值为（B）

A.3
B.5
C.7
D.8

答案： 9.B 【详解】因为$y \geqslant z - x,x ＞ 0$，所以$\frac{y}{x}+\frac{9x}{z} \geqslant \frac{z - x}{x}+\frac{9x}{z}=\frac{z}{x}+\frac{9x}{z}-1$，因为$x ＞ 0,z ＞ 0$，所以$\frac{z}{x}+\frac{9x}{z}-1 \geqslant 2\sqrt{\frac{z}{x} · \frac{9x}{z}}-1=5$，所以$\frac{y}{x}+\frac{9x}{z} \geqslant 5$，当且仅当$\begin{cases} y = 2x \\ z = 3x \end{cases}$时取等号，所以$\frac{y}{x}+\frac{9x}{z}$的最小值为5.

10. 已知 $ x ＞ 0,y ＞ 0,2x + y = 2 $，则 $ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} $ 的最小值为（A）

A.4
B.2
C.$ \sqrt{2} $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 10.A 【详解】由条件可知$x+\frac{y}{2}=1$，所以$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})(x+\frac{y}{2})=1 + 1+\frac{y}{2x}+\frac{2x}{y} \geqslant 2+2\sqrt{\frac{y}{2x} · \frac{2x}{y}}=4$，当且仅当$x=\frac{1}{2},y = 1$时取等号.

11. 已知正数 $ a,b $ 满足 $ 2a + b = 2ab $，则 $ a + 2b $ 的最小值为（B）

A.$ \frac{5}{2} $
B.$ \frac{9}{2} $
C.5
D.9

答案： 11.B 【详解】由$2a + b = 2ab$，得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=2$，则$a + 2b=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})(a + 2b)=\frac{1}{2} × (5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}) \geqslant \frac{5}{2}+\sqrt{\frac{2b}{a} · \frac{2a}{b}}=\frac{9}{2}$，当且仅当$a = b=\frac{3}{2}$时，等号成立.

12. 若 $ a ＞ 0 ＞ b $，且 $ a - b = 2 $，则 $ \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{b} $ 的最小值为（B）

A.$ \frac{2}{3} $
B.$ \frac{4}{3} $
C.3
D.4

答案： 12.B 【详解】因为$a ＞ 0＞b$，所以$-b ＞ 0$，因为$a - b = 2$，则$a + 1+(-b)=3$，即$\frac{a + 1}{3}+\frac{(-b)}{3}=1$，$\frac{1}{a + 1}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a + 1}+\frac{1}{(-b)}=[\frac{1}{a + 1}+\frac{1}{(-b)}](\frac{a + 1}{3}+\frac{(-b)}{3})=\frac{1}{3}+\frac{a + 1}{3(-b)}+\frac{(-b)}{3(a + 1)}+\frac{1}{3} \geqslant 2\sqrt{\frac{a + 1}{3(-b)} · \frac{(-b)}{3(a + 1)}}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，当且仅当$a + 1=-b$，即$a=\frac{1}{2},b=-\frac{3}{2}$时，等号成立，此时$\frac{1}{a + 1}-\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{4}{3}$.

13. 设实数 $ x,y $ 满足 $ x^{2} - 3xy - 4y^{2} = 1 $，则 $ x^{2} + 4y^{2} $ 的最小值为（C）

A.$ \frac{2}{5} $
B.$ \frac{3}{5} $
C.$ \frac{4}{5} $
D.1

答案： 13.C 【详解】因为$x^{2}-3xy - 4y^{2}=1$，所以$(x - 4y)(x + y)=1$，令$\begin{cases} x - 4y = m \\ x + y = n \end{cases}$，所以$\begin{cases} x=\frac{m + 4n}{5} \\ y=\frac{n - m}{5} \end{cases}$，因为$mn = 1$，所以$x^{2}+4y^{2}=(\frac{m + 4n}{5})^{2}+4(\frac{n - m}{5})^{2}=\frac{m^{2}+8mn+16n^{2}}{25}+\frac{4m^{2}-8mn+4n^{2}}{25}=\frac{5m^{2}+20n^{2}}{25}=\frac{m^{2}+4n^{2}}{5} \geqslant \frac{4mn}{5}=\frac{4}{5}$，当且仅当$m = 2n$，即$\begin{cases} m=\sqrt{2} \\ n=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$或$\begin{cases} m=-\sqrt{2} \\ n=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$时等号成立，所以$x^{2}+4y^{2}$的最小值为$\frac{4}{5}$.

14. 若正实数 $ x,y $ 满足 $ (3x - 2)^{3} + 8(y - 1)^{3} = 4 - 3x - 2y $，则 $ 2x + \frac{y}{x} + \frac{3x^{2}}{y} $ 的最小值是4。

答案： 14.4 【详解】设$m = 3x - 2,n = 2(y - 1)$，则$m^{3}+n^{3}=-(m + n)$，即$(m + n)(m^{2}-mn+n^{2}+1)=0$，若$m + n \neq 0$，则$m^{2}+n^{2} \geqslant mn - 1 \geqslant 0$，而$m^{2}+n^{2} \geqslant 2mn$，当且仅当$m = n$时等号成立，所以$mn - 1 \geqslant 2mn \Rightarrow mn \leqslant -1$，显然与$mn \geqslant 0$矛盾，所以$m + n = 0$，由$m = 3x - 2,n = 2(y - 1)$得$x=\frac{m + 2}{3},y=\frac{n}{2}+1$，因为$x,y ＞ 0$，即$m + 2 ＞ 0,n + 2=2 - m ＞ 0$，则$-2 ＜ m ＜ 2$，所以$2x+\frac{y}{x}+\frac{3x}{y}=\frac{2(m + 2)}{3}+\frac{\frac{n}{2}+1}{\frac{m + 2}{3}}+\frac{3 × \frac{m + 2}{3}}{\frac{n}{2}+1}=\frac{2(m + 2)}{3}+\frac{3(n + 2)}{2(m + 2)}+\frac{2(m + 2)}{3(n + 2)}=\frac{2(m + 2)}{3}+\frac{3(2 - m)}{2(m + 2)}+\frac{2(m + 2)}{3(2 - m)}=\frac{8(m + 2)}{3(2 - m)}+\frac{3(2 - m)}{2(m + 2)} \geqslant 2\sqrt{\frac{8(m + 2)}{3(2 - m)} · \frac{3(2 - m)}{2(m + 2)}}=4$，当且仅当$4(m + 2)=3(2 - m)$时等号成立，所以$m=-\frac{2}{7},n=\frac{2}{7}$，即$x=\frac{4}{7},y=\frac{8}{7}$时，目标式的最小值为4.

15. $ \forall a,b,c \in \mathbf{R}^{+} $，满足 $ b + c = 1 $，则 $ \frac{8ab^{2} + a}{bc} + \frac{16}{a + 1} $ 的最小值为（C）

A.6
B.8
C.$ 16\sqrt{2} - 8 $
D.$ 8\sqrt{2} - 1 $

答案： 15.C 【详解】$\frac{8ab^{2}+a}{bc}=\frac{a(8b^{2}+1)}{bc}=a(\frac{8b}{c}+\frac{1}{bc})=a(\frac{8b}{c}+\frac{b + c}{bc})=a(\frac{9b}{c}+\frac{c}{b}+2) \geqslant a(2\sqrt{\frac{9b}{c} · \frac{c}{b}}+2)=8a$，当且仅当$\frac{9b}{c}=\frac{c}{b}$，即$c = 3b$时等号成立，所以$b=\frac{1}{4},c=\frac{3}{4}$，$\frac{8ab^{2}+a}{bc}+\frac{16}{a + 1} \geqslant 8a+\frac{16}{a + 1}=8(a + 1)+\frac{16}{a + 1}-8 \geqslant 2\sqrt{8(a + 1) · \frac{16}{a + 1}}-8=16\sqrt{2}-8$，当且仅当$8(a + 1)=\frac{16}{a + 1}$，即$a=\sqrt{2}-1$时等号成立，所以$\frac{8ab^{2}+a}{bc}+\frac{16}{a + 1}$的最小值为$16\sqrt{2}-8$.

16. 已知正数 $ a,b,c $ 满足 $ c ＜ 1,a + b = 4 $，则 $ \frac{2}{ab} + \frac{1}{bc(1 - c)} $ 的最小值为2。

答案：
16.2 【详解】由题意知$c(1 - c) \leqslant (\frac{c + 1 - c}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，当$c=\frac{1}{2}$时取等号，故$\frac{2}{ab}+\frac{}{bc(1 - c)} \geqslant \frac{2}{ab}+\frac{4}{b}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{9}{b})=\frac{1}{8}(\frac{1}{a}+\frac{9}{b})(a + b)=\frac{1}{8}(10+\frac{b}{a}+\frac{9a}{b}) \geqslant \frac{1}{8}(10 + 2\sqrt{\frac{b}{a} · \frac{9a}{b}})=2$，当$b = 3a = 3$时取等号.综上，当$a = 1,b = 3,c=\frac{1}{2}$时，$\frac{2}{ab}+\frac{1}{bc(1 - c)}$的最小值为2.