《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

已知幂函数$f(x)=(m - 1)x^{m + 1}$，则$f(2)$等于（A）

A.$8$
B.$4$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt[3]{2}$

答案： A　[详解]由幂函数的定义，知$m - 1 = 1$，解得$m = 2$，所以$f(x)= x^{3}$，$f(2)=8$.

1. 据调查，某存车处（只存放自行车和电动车）在某天的存车量为$400$辆次，其中电动车存车费是每辆一次$2$元，自行车存车费是每辆一次$1$元。若该天自行车存车量为$x$辆次，存车总收入为$y$元，则$y$关于$x$的函数关系式是（D）

A.$y = x + 400(0\leqslant x\leqslant 400)$
B.$y = x + 800(0\leqslant x\leqslant 400)$
C.$y = -x + 400(0\leqslant x\leqslant 400)$
D.$y = -x + 800(0\leqslant x\leqslant 400)$

答案： 1.D[详解]由题意，因为自行车存车量为$x$辆次，所以电动车存车量为$(400 - x)$辆次，所以$y = x + 2(400 - x)= - x + 800(0 \leq x \leq 400)$.

2. 如图所示，一个长为$a$、宽为$b$的长方形，被平行于边的两条直线所割，其中长方形的左上角是一个边长为$x$的正方形。
(1) 试将图中阴影部分的面积$S$表示成关于$x$的函数；
(2) 当$a = 5$，$b = 3$时，求面积$S$的最小值，并指出此时自变量$x$的值。

答案： 2.解:
(1)由题意得$S = x^{2}+(a - x)(b - x)=2x^{2}-(a + b)x + ab$.又$\begin{cases}x ＞ 0\\a - x \geq 0\\b - x \geq 0\\a ＞ b ＞ 0\end{cases}$，$\therefore 0 ＜ x \leq b$.所求函数为$S = 2x^{2}-(a + b)x + ab$，$x \in (0,b]$.
(2)当$a = 5$，$b = 3$时，$x \in (0,3]$，函数为$S = 2x^{2}-8x + 15 = 2(x - 2)^{2}+7$，$\therefore$当$x = 2$时，面积$S$的最小值为$7$.

3. 某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资$x$与利润$y$（单位：万元）分别满足函数关系$y = k_1x^{a_1}$与$y = k_2x^{a_2}$。
(1) 求$k_1$，$a_1$与$k_2$，$a_2$的值；
(2) 该厂商现筹集到资金$20$万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值。

答案： 3.解:
(1)将$(1,1.5)$，$(3,4.5)$代入$y = k_{1}x^{a_{1}}$中，$\begin{cases}k_{1}=1.5\\k_{1} · 3^{a_{1}} = 4.5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{1}=1.5\\a_{1}=1\end{cases}$；将$(4,6)$，$(9,9)$代入$y = k_{2}x^{a_{2}}$中，$\begin{cases}k_{2} · 4^{a_{2}} = 6\\k_{2} · 9^{a_{2}} = 9\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{2}=3\\a_{2}=\frac{1}{2}\end{cases}$.
(2)设分配生产乙商品的投资为$m(0 \leq m \leq 20)$万元、甲商品的投资为$(20 - m)$万元，此时的总利润为$w$，则$w = 1.5(20 - m)+3 · m^{\frac{1}{2}}=-\frac{3}{2}(\sqrt{m} - 1)^{2}+31.5$，因为$0 \leq m \leq 20$，所以当$\sqrt{m}=1$，即$m = 1$时，$w$取得最大值，即分配生产乙商品的投资为$1$万元，甲商品的投资为$19$万元，此时总利润的最大值为$31.5$万元.

4. （多选）（2025·河南省部分学校月考）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满$200$元送$40$元”的促销策略。某顾客计划消费$x(x ＞ 0)$元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（AC）

A.当$0 ＜ x ＜ 200$时，应进甲商场购物
B.当$200\leqslant x ＜ 300$时，应进乙商场购物
C.当$400\leqslant x ＜ 500$时，应进乙商场购物
D.当$x ＞ 500$时，应进甲商场购物

答案： 4.AC　[详解]当$0 ＜ x ＜ 200$时，甲商场的费用为$0.84x$，乙商场的费用为$x$，$x ＞ 0.84x$，故应进甲商场，故A正确；当$200 \leq x ＜ 300$时，甲商场的费用为$0.84x$，乙商场的费用为$x - 40$，$x - 40 - 0.84x = 0.16x - 40$，当$200 \leq x ＜ 250$时，$- 8 \leq 0.16x - 40 ＜ 0$，$x - 40 ＜ 0.84x$，应进乙商场，当$250 \leq x ＜ 300$时，$x - 40 \geq 0.84x$，应进甲商场，故B错误；当$400 \leq x ＜ 500$时，甲商场的费用为$0.84x$，乙商场的费用为$x - 80$，$x - 80 - 0.84x = 0.16x - 80$，因为$400 \leq x ＜ 500$，所以$- 16 \leq 0.16x - 80 ＜ 0$，故$x - 80 ＜ 0.84x$，所以应进乙商场，故C正确；假设消费了$600$元，则在甲商场的费用为$600 × 0.84 = 504$元，在乙商场的费用为$600 - 120 = 480$元，所以乙商场费用低，故应在乙商场购物，故D错误.