《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

下列语句中：①$-1＜2$；②$x＞1$；③$x^{2}-1=0$有一个根为$0$；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（D）

A.①②③
B.①④⑤
C.②③⑥
D.①③

答案： D【详解】命题是能判断真假的陈述句，由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题,②④无法判断真假，故不是命题，①③可以判断真假且是陈述句，故是命题.

1. (多选)下列命题中，$p$是$q$的充分不必要条件的是（AC）

A.$p:x=1$；$q:x^{2}=1$
B.$p:a=b$；$q:a+c=b+c$
C.$p$：四边形为菱形；$q$：四边形的对角线垂直
D.$p:a＞b$；$q:ac＞bc$

答案： 1.AC【详解】对于A，当$x = 1$时，可得$x^2 = 1$，即充分性成立，反之，当$x^2 = 1$时，可得$x = \pm1$，所以必要性不成立，所以$p$是$q$的充分不必要条件，所以A正确；对于B，当$a = b$时，可得$a + c = b + c$，即充分性成立，反之，当$a + c = b + c$时，可得$a = b$，所以必要性成立，所以$p$是$q$的充分必要条件，所以B不正确；对于C，由四边形为菱形，可得四边形的对角线垂直，即充分性成立，反之，当四边形的对角线垂直时，四边形不一定是菱形，所以必要性不成立，所以$p$是$q$的充分不必要条件，所以C正确；对于D，例如：由$a ＞ b$，且$c ＜ 0$时，可得$ac ＜ bc$，即充分性不成立，所以D不正确.

2. (多选)能使$x＞1$成立的必要条件是（AB）

A.$x＞-1$
B.$x＞0$
C.$x＞2$
D.$x＞3$

答案： 2.AB【详解】找$x ＞ 1$成立的必要条件，就是$x ＞ 1$作为条件，能推出的选项.

3. 已知集合$A=\{x|-2\leqslant x\leqslant 2\}$，$B=\{x|-3\leqslant x\leqslant 2\}$，则“$x\in A$”是“$x\in B$”的充分条件.（填“充分”或“必要”）

答案： 3.充分【详解】由题意，$A \subsetneqq B$，$\therefore$若$x \in A$，则$x \in B$；若$x \in B$，不一定有$x \in A$．$\therefore “x \in A”$是$“x \in B”$的充分条件.

4. 下列选项中，$p$是$q$的充要条件的是（D）

A.$p:x\leqslant 1$，$q:x＜1$
B.$p:x＞-1$，$q:x^{2}＞1$
C.$p:x＞0$，$q:\sqrt{x^{2}}=x$
D.$p:x\leqslant 0$，$q:|x|=-x$

答案： 4.D【详解】对于A，$x \leq 1$不能推出$x ＜ 1$，例如$x = 1$，即充分性不成立，故A错误；对于B，$x ＞ -1$不能推出$x^2 ＞ 1$，例如$x = 0$，即充分性不成立，故B错误；对于C，$\sqrt{x^2} = x$不能推出$x ＞ 0$，例如$x = 0$，即必要性不成立，故C错误；对于D，因为$\vert x\vert = -x$等价于$x \leq 0$，所以$p$是$q$的充要条件，故D正确.

5. (2025·辽宁大连阶段练习)设$x\in \mathbf{R}$，则“$4＜x＜5$”是“$x-2＞1$”的（B）

A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 5.B【详解】由$x - 2 ＞ 1 \Rightarrow x ＞ 3$，显然不能推出$4 ＜ x ＜ 5$，必要性不成立；但由$4 ＜ x ＜ 5$能推出$x ＞ 3$，充分性成立，所以$“4 ＜ x ＜ 5”$是$“x - 2 ＞ 1”$的充分不必要条件.

1. 【题型一】(2025·河北唐山期中)已知$p:0＜x＜2$，$q:-1＜x＜3$，则$p$是$q$的（A）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.A【详解】因为$\{x\vert0 ＜ x ＜ 2\}$是$\{x\vert - 1 ＜ x ＜ 3\}$的真子集，所以$p$是$q$的充分而不必要条件.

2. 【题型二】(2025·湖南衡阳阶段练习)已知条件$p:\frac{1}{x}＜1$，则使得条件$p$成立的一个充分不必要条件是（A）

A.$x＜-1$
B.$x\geqslant 1$
C.$x＜0$或$x＞1$
D.$x\neq 0$

答案： 2.A【详解】由题意得$\frac{1}{x} ＜ 1$，解得$x ＞ 1$或$x ＜ 0$，故使得条件$p$成立的一个充分不必要条件应为$x ＞ 1$或$x ＜ 0$的真子集，其中$x ＜ - 1$满足要求，其他选项不满足.

3. 【题型一】已知$p$是$q$的必要不充分条件，$p$是$r$的充分不必要条件，则$r$是$q$的（B）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.B【详解】$p$是$q$的必要条件，$p$是$r$的充分条件，即若$q$则$p$，若$p$则$r$，因此有$q$则$r$，又$p$是$q$的不充分条件，$p$是$r$的不必要条件，若$p$不一定有$q$成立，若$r$不一定有$p$成立，因此有$r$不一定有$q$成立，所以$r$是$q$的必要不充分条件.

4. 【题型二】(2025·吉林长春期末)已知$p:x^{2}-4x+3=0$，$q:-3\leqslant \frac{1}{2}x-1\leqslant m$，若$p$是$q$的充分条件，则实数$m$的取值范围为（B）

A.$m＞\frac{1}{2}$
B.$m\geqslant \frac{1}{2}$
C.$m＞-2$
D.$m\geqslant -2$

答案： 4.B【详解】因为$p:x^2 - 4x + 3 = 0$，所以$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1$或$3$，因为$p$是$q$的充分条件，所以$p \Rightarrow q$，所以$\begin{cases}-3 \leq \frac{1}{2} × 1 - 1 \leq m, \\ -3 \leq \frac{1}{2} × 3 - 1 \leq m \end{cases} \Rightarrow m \geq \frac{1}{2}$，

5. 【题型二】已知集合$A=\{x|1＜x\leqslant 3\}$，集合$B=\{x|m-1＜x＜2m+1\}$，且$x\in A$是$x\in B$的充分条件，则实数$m$的取值范围为（D）

A.$m\leqslant 1$
B.$m\leqslant 1$或$m＞2$
C.$1＜m＜2$
D.$1＜m\leqslant 2$

答案： 5.D【详解】因为$x \in A$是$x \in B$的充分条件，所以$A \subseteq B$，故$\begin{cases}3 ＜ 2m + 1, \\ m - 1 \leq 1, \\ m - 1 ＜ 2m + 1, \end{cases}$则$1 ＜ m \leq 2$.