《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

15. 【题型一、二】(1)已知$f(x)$是二次函数，且满足$f(0)=1$，$f(x + 1)-f(x)=2x$，求$f(x)$的解析式；
(2)已知$f(2x + 1)=4x^2 + 4x$，求$f(x)$的解析式。

答案： 15.解：
(1)令$f(x) = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$，因为$f(0) = 1$，所以$c = 1$，则$f(x) = ax^2 + bx + 1$。由题意可知$f(x + 1) - f(x) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + 1 - (ax^2 + bx + 1) = 2x$，即$2ax + a + b = 2x$，可得$\begin{cases}2a = 2,\\a + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -1,\end{cases}$所以$f(x) = x^2 - x + 1$。
(2)因为$f(2x + 1) = 4x^2 + 4x = (2x + 1)^2 - 1$，所以$f(x) = x^2 - 1$。

1. (2025·吉林长春阶段练习)已知$f(\sqrt{x}-1)=x - 2\sqrt{x}$，则$f(x)$的解析式为（C）

A.$f(x)=x^2 - 1$
B.$f(x)=x^2 + 1(x\geq - 1)$
C.$f(x)=x^2 - 1(x\geq - 1)$
D.$f(x)=x^2 + 1$

答案： 1.C【详解】令$t = \sqrt{x} - 1$，$t \geq -1$，由$f(\sqrt{x} - 1) = x - 2\sqrt{x} = (\sqrt{x} - 1)^2 - 1$，$t \geq -1$，即$f(x) = x^2 - 1(x \geq -1)$。

2. 求函数$f(x)=\begin{cases}x^2 + 2x - 3(-2\leq x ＜ 0),\\x^2 - 2x - 3(0\leq x ＜ 3)\end{cases}$的值域。

答案： 2.解：当$-2 \leq x ＜ 0$时，$f(x) = x^2 + 2x - 3$，图象为以$x = -1$为对称轴的抛物线；当$0 \leq x ＜ 3$时，$f(x) = x^2 - 2x - 3$，图象为以$x = 1$为对称轴的抛物线。作出函数$f(x)$的图象如图所示，因为$f(-1) = f(1) = -4$，$f(-2) = f(3) = 0$(取不到)，所以函数的最小值为-4，无最大值，结合图象知：函数$f(x)$的值域为$[-4, 0)$。