《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

4. 【题型二】已知函数$f(x)=\log _{a}(x - b)(a ＞ 0$且$a\neq 1$，$a$，$b$为常数)的图象如图，则下列结论正确的是（D）


A.$a ＞ 0$，$b ＜ - 1$
B.$a ＞ 0$，$-1 ＜ b ＜ 0$
C.$0 ＜ a ＜ 1$，$b ＜ - 1$
D.$0 ＜ a ＜ 1$，$-1 ＜ b ＜ 0$

答案： 4.D【详解】因为函数f(x)=logₐ(x-b)为减函数,所以0＜a＜1,又因为函数图象与x轴的交点在正半轴上,所以x=1+b＞0,即b＞-1,又因为函数图象与y轴有交点,所以b＜0,所以-1＜b＜0.

5. 【题型二、五】在同一直角坐标系中，画出函数$y=\log _{a}x$，$y = a^{x}$，$y = x + a$的图象，正确的是（D）

答案： 5.D【详解】函数y=aˣ与y=logₐx的单调性相同,由此可排除C;直线y=x+a在y轴上的截距为a,则A中0＜a＜1,B中a＞1,显然y=aˣ的图象不符,排除A,B.

6. 【题型四】(2025·辽宁七校协作体联考)已知函数$f(x)=\log _{a}x(a ＞ 0$且$a\neq 1)$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(9)=\frac{1}{f(3)}-1$，则$a$的值为（C）

A.$3$
B.$6$
C.$9$
D.$27$

答案： 6.C【详解】因为函数f(x)=logₐx在(0,+∞)上单调递增,所以a＞1,因为$f(9)=\frac{1}{f(3)}-1,$所以$logₐ9=\frac{1}{logₐ3}-1,$即$2logₐ3=\frac{1}{logₐ3}-1,$解得$logₐ3=\frac{1}{2}$或logₐ3=-1(舍),所以a=9.

7. 【题型三】(2025·黑龙江龙西北名校联盟月考)已知函数$f(x)=1+\log _{a}(x - 2)(a ＞ 0$，且$a\neq 1)$的图象经过定点$A(m,n)$，若正数$x$，$y$满足$\frac{m}{x}+\frac{n}{y}=1$，则$x + y$的最小值为（C）

A.$3 + 2\sqrt{2}$
B.$4 + 2\sqrt{2}$
C.$4 + 2\sqrt{3}$
D.$5 + 2\sqrt{6}$

答案： 7.C【详解】函数f(x)=1+logₐ(x-2)(a＞0,且a≠1),令x-2=1,可得x=3,代入可得y=1,所以定点A的坐标为(3,1),代入$\frac{m}{x}+\frac{n}{y}=1$可得$\frac{3}{x}+\frac{1}{y}=1,$且x＞0,y＞0,则$(x+y)(\frac{3}{x}+\frac{1}{y})=3+1+\frac{3y}{x}+\frac{x}{y}≥4+2√(\frac{3y}{x}×\frac{x}{y})=4+2√3,$当且仅当$\frac{3y}{x}=\frac{x}{y},$即x=3+√3,y=1+√3时,等号成立,所以x+y的最小值为4+2√3.

8. 【题型二】若指数函数$y = a^{x}+1(a ＞ 0$且$a\neq 1)$的图象过点$(m,n)$，则$y=\log _{a}(x - 1)$经过点(2,0).

答案： 8.(2,0)【详解】由y=aˣ+1(a＞0且a≠1)可知,x=0时,y=2,则点(m,n)为(0,2),由y=aˣ+1可得aˣ=y-1,两边取对数得,x=logₐ(y-1),交换x,y可得,y=logₐ(x-1),即y=logₐ(x-1)与y=aˣ+1是一对反函数,图象关于y=x对称,故y=logₐ(x-1)经过点(2,0).

9. 【题型一、三、五】已知函数$f(x)=2+\log _{3}x$的定义域为$[1,9]$，则函数$f(x)$的值域是[2,4].

答案： 9.[2,4]【详解】
∵1≤x≤9,
∴log₃1≤log₃x≤log₃9,即0≤log₃x≤2,2≤f(x)≤4,故函数f(x)的值域为[2,4].

10. 【题型一、二、四】已知$f(x)=\log _{a}x(a ＞ 0$且$a\neq 1)$的图象过点$(4,2)$.
(1)求$a$的值；
(2)当$x\in[\frac{1}{2},4]$时，求$f(x)$的值域；
(3)若$g(x)=f(1 - x)-f(1 + x)$，判断$g(x)$的奇偶性.

答案： 10.解：
(1)因为f(x)=logₐx(a＞0且a≠1)的图象过(4,2),所以f
(4)=logₐ4=2,a²=4,又a＞0且a≠1,解得a=2.
(2)由
(1)可知f(x)=log₂x,则f(x)在$[\frac{1}{2},4]$上单调递增,当$\frac{1}{2}≤x≤4$时$,f(x)_min=f(\frac{1}{2})=log₂\frac{1}{2}=-1,f(x)_max=f(4)=log₂4=2,$所以函数f(x)在$[\frac{1}{2},4]$上的值域为[-1,2].
(3)g(x)=f(1-x)-f(1+x)=log₂(1-x)-log₂(1+x),则$\begin{cases}1-x＞0\\1+x＞0\end{cases},$可得-1＜x＜1,即函数g(x)的定义域为(-1,1),g(-x)=log₂(1+x)-log₂(1-x)=-g(x),故函数g(x)为奇函数.

已知函数$f(x)=\log _{a}x(a ＞ 0$，且$a\neq 1)$的图象经过点$(2,-1)$，则不等式$f(x) ＜ f(2x - 1)$的解集为(\frac{1}{2},1).

答案： $(\frac{1}{2},1)【$详解】由题意可得f
(2)=logₐ2=-1,则a⁻¹=2,解得$a=\frac{1}{2},$由函数$f(x)=log_\frac{1}{2}x$在(0,+∞)上单调递减,且f(x)＜f(2x-1),可得x＞2x-1,解得$\frac{1}{2}＜x＜1.$