《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

6. 【题型三】（2025·广东深圳外国语高级中学期末）已知 $ a \in \mathbf{R} $，若集合 $ \{ a, - a,0\} = \{ c,a^{2},a\} $，则 $ a $ 的值为（B）

A.$ 0 $
B.$ - 1 $
C.$ 1 $
D.$ 2 $

答案： 6.B 【详解】
∵{a , - a , 0} = {c , a² , a} ,
∴$\begin{cases} a = a , \\ - a = a² , \\ 0 = c , \end{cases}$ a ≠ 0 , 解得$\begin{cases} a = - 1 , \\ c = 0 . \end{cases}$

7. 【题型四】（2025·黑龙江牡丹江第三高中月考）已知 $ \{ x|ax - 1 = 0\} \subsetneqq \{ x|x^{2} - 2x - 3 = 0\} $，则实数 $ a $ 的取值集合是（D）

A.$ \left\{ \frac{1}{3}, - 1\right\} $
B.$ \left\{ - \frac{1}{3},1\right\} $
C.$ \left\{ - \frac{1}{3},0,1\right\} $
D.$ \left\{ \frac{1}{3},0, - 1\right\} $

答案： 7.D 【详解】由x² - 2x - 3 = 0 解得x = - 1 或x = 3 , 所以{x|x² - 2x - 3 = 0} = { - 1 , 3} , 当a = 0 时 , 方程ax - 1 = 0 无解 , 则{x|ax - 1 = 0} = ∅ , 满足题意; 当a ≠ 0 时 , 由ax - 1 = 0 解得x = $\frac{1}{a}$ , 所以$\frac{1}{a}$ = - 1 或3 , 解得a = - 1 或$\frac{1}{3}$ . 综上 , 实数a 的取值集合是{$\frac{1}{3}$ , 0 , - 1} .

8. 【题型二、四】（2025·河北石家庄月考）已知集合 $ A = \{ x \in \mathbf{R}|ax^{2} - x - 1 = 0,a \in \mathbf{R}\} $。
（1）若 $ a = 2 $，写出集合 $ A $ 的所有子集；
（2）若集合 $ A $ 中仅含有一个元素，求实数 $ a $ 的值。

答案： 8.解: ( 1 ) 若a = 2 , 则A = {x ∈R|2x² - x - 1 = 0 , a ∈R} = {1 , - $\frac{1}{2}$} , 所以集合A 的所有子集是: ∅ , {1} , { - $\frac{1}{2}$} , {1 , - $\frac{1}{2}$} . ( 2 ) 当a = 0 时 , 方程 - x - 1 = 0 ⇒ x = - 1 , 符合题意; 当a ≠ 0 时 , 集合A 中仅含有一个元素 , 则Δ = 1 + 4a = 0 , 解得a = - $\frac{1}{4}$ . 所以实数a 的值为0 或 - $\frac{1}{4}$ .

9. 【题型二、四】（2025·河南焦作期末）设集合 $ A = \left\{ x\left|\frac{x}{x - 3} ＜ 0\right.\right\} $，$ B = \{ x|2a - 5 ＜ x ＜ 3a + 2\} $。若 $ A \subseteq B $，求整数 $ a $ 的所有可能取值。

答案： 9.解: 由题意可得A = {x|0 ＜ x ＜ 3} , 由A ⊆ B , 可得$\begin{cases} 3a + 2 ＞ 2a - 5 , \\ 2a - 5 ≤ 0 , \\ 3a + 2 ≥ 3 , \end{cases}$ 解得$\frac{1}{3}$ ≤ a ≤ $\frac{5}{2}$ , 故整数 a的所有可能取值为1和2 .

1. 若集合 $ A = \{ x|a ＜ x ＜ 2a - 1\} $，$ B = \{ x|1 ＜ x ＜ 3\} $，且 $ A \subseteq B $，则 $ a $ 的取值范围是（D）

A.$ a \leqslant 1 $
B.$ a ＜ 2 $
C.$ 1 ＜ a ＜ 2 $
D.$ a \leqslant 2 $

答案： 1.D 【详解】集合A = {x|a ＜ x ＜ 2a - 1} , B = {x|1 ＜ x ＜ 3} , 且A ⊆ B , 当A = ∅ 时 , 则a ≥ 2a - 1 , 解得a ≤ 1 ; 当A ≠ ∅ 时 , 则$\begin{cases} a ＜ 2a - 1 , \\ 2a - 1 ≤ 3 , \\ a ≥ 1 , \end{cases}$ 解得1 ＜ a ≤ 2 . 综上 , a 的取值范围是a ≤ 2 .

2. 设集合 $ A = \{ a^{2} - a - 2,1,2\} $，$ B = \{ 0,a + 2\} $，若 $ B \subseteq A $，则 $ a $ 的值为（D）

A.$ 2 $
B.$ 1 $
C.$ 0 $
D.$ - 1 $

答案： 2.D 【详解】由题意可得a² - a - 2 = 0 , 解得a = 2 或a = - 1 , 当a = 2 时 , A = {0 , 1 , 2} , B = {0 , 4} , 不符合B ⊆ A , 舍去 , 当a = - 1 时 , A = {0 , 1 , 2} , B = {0 , 1} , 符合B ⊆ A , 故a = - 1 .