《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

10. (2025·河北保定高一上期末)对数的运算性质是数学发展史上的伟大的成就.
(1)对数运算性质的推导有很多方法，请推导如下的对数运算性质：如果$a\gt0$，且$a\neq1$，$M\gt0$，那么$\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M(n\in\mathbf{R})$.
(2)因为$2^{10}=1024\in(10^{3},10^{4})$，所以$2^{10}$的位数为$4$，试判断$219^{220}$的位数.(参考数据：$\lg219\approx2.34$)
(3)围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏，围棋复杂度的上限约为$M = 3^{361}$，二阶魔方复杂度上限约为$N = 560×3^{8}$.甲、乙两名同学都估算了$\frac{M}{N}$的近似值，甲同学认为是$10^{160}$，乙同学认为是$10^{165}$.现有一种定义：若实数$x,y$满足$\vert x - m\vert\lt\vert y - m\vert$，则称$x$比$y$接近$m$，试判断哪名同学的近似值更接近$\frac{M}{N}$，并说明理由.(参考数据：$\lg2\approx0.3,\lg3\approx0.48,\lg7\approx0.85$)

答案： 10.解：
(1)设$\log_{a}M=m$，则$a^{m}=M$，所以$M^{n}=(a^{m})^{n}=a^{mn}$，所以$\log_{a}M^{n}=mn=n\log_{a}M$。
(2)$\lg219^{220}=220\lg219\approx220×2.34 = 514.8$，所以$219^{220}\approx10^{514.8}$，所以$10^{514}＜219^{220}＜10^{515}$，所以$219^{220}$的位数为$515$。
(3)乙同学的近似值更接近$\frac{M}{N}$。理由如下：因为$M = 3^{361}$，$N = 560×3^{8}$，所以$\frac{M}{N}=\frac{3^{361}}{560×3^{8}}=\frac{3^{353}}{560}$，所以$\lg\frac{M}{N}=\lg\frac{3^{353}}{560}=353\lg3-\lg560=353\lg3-\lg7 - 3\lg2 - 1\approx353×0.48-0.85 - 0.9 - 1 = 166.69$，所以$\frac{M}{N}=10^{166.69}$，又$|10^{165}-10^{166.69}|＜|10^{160}-10^{166.69}|$，所以乙同学的近似值更接近$\frac{M}{N}$。

11. (2025·河北秦皇岛期末)已知函数$f(x)=(\log_{2}x)^{2}-4\log_{2}x + 2$.
(1)求函数$f(x)$在区间$\left[\frac{1}{2},8\right]$上的值域.
(2)若函数$g(x)=f(x)-k$有两个零点$\alpha,\beta$，且$\beta\gt4\alpha\gt0$，求实数$k$的取值范围.
(3)是否存在实数$m,n$，使得函数$f(x)$在区间$[m,n]$上的值域为$\left[-\frac{n}{2},-\frac{m}{2}\right]$？若存在，求出实数$m,n$的值；若不存在，请说明理由.

答案：
11.解：
(1)设$\log_{2}x=t$，因为$x\in[\frac{1}{2},8]$，所以$t\in[-1,3]$，所以$f(x)=y=t^{2}-4t + 2=(t - 2)^{2}-2$，则函数$y=t^{2}-4t + 2$在$[-1,2]$上单调递减，在$(2,3]$上单调递增，当$t = 2$时，$y = - 2$，当$t=-1$时，$y = 7$，所以函数$f(x)$的值域为$[-2,7]$。
(2)设$\log_{2}\alpha=t_{1}$，$\log_{2}\beta=t_{2}$，若函数$g(x)=f(x)-k$有两个零点$\alpha$，$\beta$，则函数$y=t^{2}-4t + 2 - k$有两个零点，由$\beta＞4\alpha＞0$，得$t_{2}-t_{1}=\log_{2}\frac{\beta}{\alpha}=\log_{2}\frac{\beta}{\alpha}＞ \log_{2}4 = 2$。令$t^{2}-4t + 2 - k=0$，可得$t_{1}$，$t_{2}$是方程$t^{2}-4t + 2 - k=0$的两个不等实根，则$t_{1}+t_{2}=4$，$t_{1}t_{2}=2 - k$，所以$t_{2}-t_{1}=\sqrt{(t_{2}-t_{1})^{2}}=\sqrt{(t_{1}+t_{2})^{2}-4t_{1}t_{2}}=\sqrt{16 - 4(2 - k)}=2\sqrt{k + 2}$，$\therefore\begin{cases}\Delta=16 - 4(2 - k)＞0\\2\sqrt{k + 2}＞2\end{cases}$，解得$k＞-1$，所以实数$k$的取值范围为$(-1,+\infty)$。
(3)由函数$y=\log_{2}x$在$(0,+\infty)$上单调递增，函数$y=x^{2}-4x + 2$在$(-\infty,2)$上单调递减，在$(2,+\infty)$上单调递增，可得$f(x)$的单调递减区间为$(0,4)$，单调递增区间为$(4,+\infty)$。由$f(x)=\begin{cases}n＞m＞0\\(\log_{2}x - 2)^{2}-2\geq - 2\end{cases}$，必有$\begin{cases}-\frac{n}{2}\geq - 2\\-\frac{m}{2}\geq - 2\end{cases}$，可得$0 ＜ m ＜ n\leq4$，由函数$f(x)$的单调递减区间为$(0,4)$，则$\begin{cases}f(m)=-\frac{m}{2}\\f(n)=-\frac{n}{2}\end{cases}$，可知$m$，$n$是方程$f(x)=-\frac{x}{2}$在区间$(0,4]$上的两个不相等的实数根，方程$f(x)=-\frac{x}{2}$，即$(\log_{2}x)^{2}-4\log_{2}x + 2=-\frac{x}{2}$，可化为$(\log_{2}x - 2)^{2}=2-\frac{x}{2}$，又$0 ＜ x\leq4$，有$\log_{2}x\leq2$，$2-\frac{x}{2}\geq0$，方程$(\log_{2}x - 2)^{2}=2-\frac{x}{2}$可化为$2-\log_{2}x=\sqrt{2-\frac{x}{2}}$，即$\log_{2}x=2-\sqrt{\frac{4 - x}{2}}$，又由函数$y=\log_{2}x(0 ＜ x\leq4)$和函数$y=2-\sqrt{\frac{4 - x}{2}}(0 ＜ x\leq4)$单调递增，结合图象可知，方程$\log_{2}x=2-\sqrt{\frac{4 - x}{2}}$在区间$(0,4]$上有两个不相等的实数根，又由$x = 2$和$x = 4$满足方程，故方程$\log_{2}x=2-\sqrt{\frac{4 - x}{2}}$的根为$x = 2$或$x = 4$，即$m = 2$，$n = 4$，故存在$m = 2$，$n = 4$满足题意。