《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

10. (2025·辽宁朝阳期末)已知关于 $ x $ 的不等式 $ 2x - 1 ＞ K(x^2 - 1) $.
(1)是否存在实数 $ K $,使不等式对任意 $ x \in \mathbf{R} $ 恒成立?
(2)若不等式对于 $ x ＞ 1 $ 恒成立,求 $ K $ 的取值范围.
(3)若不等式对于 $ -2 \leq K \leq 2 $ 恒成立,求实数 $ x $ 的取值范围.

答案： 10. 解:
(1)原不等式等价于$Kx^{2}-2x + 1-K\lt0$。
当$K = 0$时，$-2x + 1\lt0$，解得$x\gt\frac{1}{2}$，不满足题意。
当$K\neq0$时，则$\begin{cases}K\lt0\\\Delta = 4-4K(1 - K)\lt0\end{cases}$，得到$K\in\varnothing$，所以不存在实数$K$，使不等式对$x\in R$恒成立。
(2)因为$x\gt1$，所以$2x - 1\gt1$，$x^{2}-1\gt0$，则$K\lt\frac{2x - 1}{x^{2}-1}$，令$2x - 1=t(t\gt1)$，则$x^{2}-1=\frac{t^{2}+2t - 3}{4}$，得到$K\lt\frac{4t}{t^{2}+2t - 3}=\frac{4}{t-\frac{3}{t}+2}$，设$g(t)=t-\frac{3}{t}+2$，$t\gt1$，显然$g(t)$在$t\gt1$时随$t$的增大而增大，当$t = 1$时，$g(1)=0$，当$t\to+\infty$时，$t-\frac{3}{t}+2\to+\infty$，所以$t-\frac{3}{t}+2\gt0$，则$\frac{4}{t-\frac{3}{t}+2}\gt0$，所以$K\leqslant0$，即$K$的取值范围是$K\leqslant0$。
(3)设$f(K)=(x^{2}-1)K-(2x - 1)$，当$-2\leqslant K\leqslant2$时，$f(K)\lt0$恒成立，即$\begin{cases}f(2)\lt0\\f(-2)\lt0\end{cases}$成立，即$\begin{cases}2x^{2}-2x - 1\lt0\\-2x^{2}-2x + 3\lt0\end{cases}$，由$2x^{2}-2x - 1\lt0$，得到$\frac{1-\sqrt{3}}{2}\lt x\lt\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，由$-2x^{2}-2x + 3 ＜ 0$，得到$x ＜ \frac{-1 - \sqrt{7}}{2}$或$x ＞ \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}$，所以$\frac{-1 + \sqrt{7}}{2} ＜ x ＜ \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$。

11. (2025·吉林省部分重点中学联考)某企业拥有一台大功率的耗电设备,每天至少运行 1 小时,但不超过 20 小时.假设该设备每天运行 $ x $ 小时,且每小时的平均耗电量 $ C(x) $ 千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系:
$ C(x) = \begin{cases} \frac{360}{x^2} - \frac{112}{x} + 10, & 1 \leq x \leq 10, \\ x + \frac{184}{x} - 26, & 10 ＜ x \leq 20. \end{cases} $
(1)当 $ 1 \leq x \leq 10 $ 时,若该设备每小时的平均耗电量不超过 2 千瓦,求 $ x $ 的取值范围;
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间.

答案： 11.解:
(1)当$1 \leq x \leq 10$时$,C(x) = \frac{360}{x^2} - \frac{112}{x} + 10,$由题意得,$C(x) \leq 2 \Rightarrow \frac{360}{x^2} - \frac{112}{x} + 10 \leq 2,$即$x^2 - 14x + 45 \leq 0 \Rightarrow (x - 5)(x -$$9) \leq 0,$解得$5 \leq x \leq 9,$又$1 \leq x \leq 10,$所以x的取值范围为5$\leq x \leq 9. (2)$由题意得,该设备一天的耗电总量为W(x)$= x · C(x) = \begin{cases} \frac{360}{x} + 10x - 112,1 \leq x \leq 10, \\ x^2 - 26x + 184,10 ＜ x \leq 20. \end{cases}①$当$1 \leq x \leq 10$时,
$W(x) = \frac{360}{x} + 10x - 112 \geq 2\sqrt{\frac{360}{x} × 10x} - 112 = 8,$当且仅当$\frac{360}{x}$
= 10x,即x = 6时,等号成立.②当$10 ＜ x \leq 20$时$,W(x) = x^2 -$$26x + 184 = (x - 13)^2 + 15,$当x = 13时取得最小值15.因为W
(6) ＜ W
(13),所以最小值为W
(6).
答:该设备一天的耗电总量的最小值为8千瓦,设备当天运行6小时.

1. (2022·上海)若实数 $ a,b $ 满足 $ a ＞ b ＞ 0 $,下列不等式中恒成立的是 (A)

A.$ a + b ＞ 2\sqrt{ab} $
B.$ a + b ＜ 2\sqrt{ab} $
C.$ \frac{a}{2} + 2b ＞ 2\sqrt{ab} $
D.$ \frac{a}{2} + 2b ＜ 2\sqrt{ab} $

答案： 1.A【详解】因为a ＞ b ＞ 0,所以$a + b \geq 2\sqrt{ab},$且仅当a = b
时取等号,又a ＞ b ＞ 0,所以$a + b ＞ 2\sqrt{ab},$故A正确,B错误,
$\frac{a}{2} + 2b \geq 2\sqrt{\frac{a}{2} × 2b} = 2\sqrt{ab},$当且仅当$\frac{a}{2} = 2b,$即a = 4b时
取等号,故C,D错误.

2. (经典·山东)已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示,则不等式 $ ax^2 + bx + c ＞ 0 $ 的解集是 (A)


A.$ \{x|-2 ＜ x ＜ 1\} $
B.$ \{x|x ＜ -2 $ 或 $ x ＞ 1\} $
C.$ \{x|-2 \leq x \leq 1\} $
D.$ \{x|x \leq -2 $ 或 $ x \geq 1\} $

答案： 2.A【详解】结合图象易知,不等式$ax^2 + bx + c ＞ 0$的解集是\{x|
-2 ＜ x ＜ 1\}.

3. (多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若 $ x,y $ 满足 $ x^2 + y^2 - xy = 1 $,则 (BC)

A.$ x + y \leq 1 $
B.$ x + y \geq -2 $
C.$ x^2 + y^2 \leq 2 $
D.$ x^2 + y^2 \geq 1 $

答案： 3.BC【详解】对于A,B,由$x^2 + y^2 - xy = 1$可得$(x + y)^2 = 1 + 3xy$
$\leq 1 + 3(\frac{x + y}{2})^2,$即$\frac{1}{4}(x + y)^2 \leq 1,\therefore (x + y)^2 \leq 4,\therefore -2 \leq x + y \leq$
2,故A错误,B正确,对于C,D,由$x^2 + y^2 - xy = x^2 + y^2 -$
$\frac{x^2 + y^2 - (x^2 + y^2)}{2} \leq \frac{x^2 + y^2}{2},\therefore 1 = x^2$
$+ y^2 - xy \leq \frac{3(x^2 + y^2)}{2},\therefore x^2 + y^2 \geq \frac{2}{3},$故C正确$;\because -xy \leq \frac{x^2 + y^2}{2},\therefore 1 = x^2$
$+ y^2 - xy \leq \frac{3(x^2 + y^2)}{2},$故D错误.

4. (2024·上海)设 $ x \in \mathbf{R} $,则不等式 $ x^2 - 2x - 3 ＜ 0 $ 的解集为\{x|-1 ＜ x ＜ 3\}.

答案： 4.\{x|-1 ＜ x ＜ 3\}【详解】因为$x^2 - 2x - 3 ＜ 0,$所以(x + 1)(x - 3) ＜
0,所以 - 1 ＜ x ＜ 3,所以原不等式的解集为\{x|-1 ＜ x ＜ 3\}.

5. (经典·天津)若 $ a ＞ 0,b ＞ 0 $,则 $ \frac{1}{a} + \frac{a}{b^2} + b $ 的最小值为2\sqrt{2}.

答案： $5.2\sqrt{2}【$详解$】\because a ＞ 0,b ＞ 0,\therefore \frac{1}{a} + \frac{a}{b^2} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} · \frac{a}{b^2}} = \frac{2}{b},b = \frac{1}{a} + \frac{a}{b^2} \geq \frac{2}{b} · b = 2\sqrt{2},$当且仅当$\frac{1}{a} = \frac{a}{b^2}$且$\frac{2}{b} = b,$即a = b
$= \sqrt{2}$时等号成立$,\therefore \frac{1}{a} + \frac{a}{b^2} + b$的最小值为$2\sqrt{2}.$