《2026年零差错高中数学必修第一册人教版》

10. (2025·福建漳州期末)下列各组函数中,表示同一函数的是 (C)

A.$ f ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } } $ 与 $ g ( x ) = x $
B.$ f ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x + 1 } $ 与 $ g ( x ) = x - 1 $
C.$ f ( x ) = \sqrt { x ^ { 3 } } $ 与 $ g ( x ) = x \sqrt { x } $
D.$ f ( x ) = x ^ { 0 } $ 与 $ g ( x ) = 1 $

答案： 10.C【详解】对于A,对于$f(x) = \sqrt{x^{2}}$,根据根式的性质,所以$f(x) = |x|$,其定义域为$\mathbf{R}$.而$g(x) = x$,$f(x)$与$g(x)$的对应关系不同,当$x ＜ 0$时,$f(x) = - x \neq g(x)$,所以A错误.对于B,$f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$,其定义域为$\{ x|x \neq - 1\}$.$g(x) = x - 1$的定义域为$\mathbf{R}$.$f(x)$与$g(x)$定义域不同,所以B错误.对于C,$f(x) = \sqrt[3]{x^{3}}$,因为$x^{3} \geq 0$,所以$x \geq 0$,$f(x) = \sqrt{x^{2} · x} = x\sqrt{x}$,定义域为$[0, + \infty)$.$g(x) = x\sqrt{x}$,定义域为$[0, + \infty)$.$f(x)$与$g(x)$定义域相同,对应关系也相同,所以C正确.对于D,对于$f(x) = x^{0}$,其定义域为$\{ x|x \neq 0\}$,且$f(x) = 1(x \neq 0)$.$g(x) = 1$的定义域为$\mathbf{R}$.$f(x)$与$g(x)$定义域不同,所以D错误.

1.【题型一、二】(2025·广东佛山期末)已知函数 $ f ( x ) $ 的定义域为 $ ( - 2, 2 ) $,则函数 $ g ( x ) = \frac { f ( x + 1 ) } { 2 x } $ 的定义域为 (C)

A.$ ( - 2, 0 ) \cup ( 0, 2 ) $
B.$ ( - 1, 3 ) $
C.$ ( - 3, 0 ) \cup ( 0, 1 ) $
D.$ ( - 1, 0 ) \cup ( 0, 3 ) $

答案： 1.C【详解】函数的定义域需满足不等式组$\begin{cases} - 2 ＜ x + 1 ＜ 2,\\2x \neq 0.\end{cases}$解得$- 3 ＜ x ＜ 1$且$x \neq 0$,所以函数的定义域是$( - 3,0) \cup (0,1)$.

2.【题型二】(2025·江苏宿迁期末)函数 $ y = \sqrt { 4 + x } + \frac { 1 } { x - 1 } $ 的定义域为 (D)

A.$ ( - \infty, 1 ) \cup ( 1, 4 ) $
B.$ ( - \infty, - 1 ) \cup ( - 1, 4 ) $
C.$ [ - 4, - 1 ) \cup ( - 1, + \infty ) $
D.$ [ - 4, 1 ) \cup ( 1, + \infty ) $

答案： 2.D【详解】对于函数$y = \sqrt{4 + x} + \frac{1}{x - 1}$,有$\begin{cases}x + 4 \geq 0,\\x - 1 \neq 0.\end{cases}$解得$x \geq - 4$且$x \neq 1$,因此,函数$y = \sqrt{4 + x} + \frac{1}{x - 1}$的定义域为$[ - 4,1) \cup (1, + \infty)$.

3.【题型四】(2025·福建厦门期中)已知函数 $ f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x - 2, x \in [ - 2, 2 ] $,则函数 $ f ( x ) $ 的值域为 (A)

A.$[-3,6]$
B.$[-2,6]$
C.$[2,10]$
D.$[1,10]$

答案： 3.A【详解】$f(x) = x^{2} - 2x - 2 = (x - 1)^{2} - 3$,因为$x \in [ - 2,2]$,所以$f(x)$的值域为$[f(1),f( - 2)]$,即$[ - 3,6]$.

4.【题型一】(2025·贵州贵阳期末)下列各组函数中,表示同一个函数的是 (D)

A.$ f ( x ) = x ^ { 2 }, g ( x ) = ( \sqrt { x } ) ^ { 4 } $
B.$ f ( x ) = x - 1, g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - x } { x } $
C.$ f ( x ) = x, g ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } } $
D.$ f ( x ) = | x |, g ( t ) = \left\{ \begin{array} { l } { t, t \geq 0 } \\ { - t, t ＜ 0 } \end{array} \right. $

答案： 4.D【详解】对于A,函数$f(x) = x^{2}$的定义域为$\mathbf{R}$,$g(x) = (\sqrt{x})^{4}$的定义域为$[0, + \infty)$,两个函数的定义域不同,不是同一个函数,故A错误;对于B,函数$f(x) = x - 1$的定义域为$\mathbf{R}$,$g(x) = \frac{x^{2} - x}{x}$的定义域为$\{ x|x \neq 0\}$,两个函数的定义域不同,不是同一个函数,故B错误;对于C,函数$g(x) = \sqrt{x^{2}} = |x|$,与函数$f(x) = x$的对应关系不同,不是同一个函数,故C错误;对于D,$f(x) = |x| = \begin{cases}x,x \geq 0,\\ - x,x ＜ 0.\end{cases}$与函数$g(t) = \begin{cases}t,t \geq 0,\\ - t,t ＜ 0.\end{cases}$定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故D正确.

5.【题型一、二、四】(多选)(2025·浙江杭州期中)下列各项正确的是 (ACD)

A.命题“$\forall x,y\in \mathbf{R},x^{2}+2y\geq 0$”的否定是“$\exists x,y\in \mathbf{R},x^{2}+2y＜0$”
B.$ f ( x ) = x - 2 $ 与 $ g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 4 } { x + 2 } $ 是同一函数
C.函数 $ y = 2 x + \sqrt { x - 1 } $ 的值域为 $[2,+\infty)$
D.若函数 $ f ( x - 1 ) $ 的定义域为 $[2,5]$,则函数 $ f ( x ) $ 的定义域为 $[1,4]$

答案： 5.ACD【详解】对于A,命题“$\forall x,y \in \mathbf{R},x^{2} + 2y \geq 0$”的否定是“$\exists x,y \in \mathbf{R},x^{2} + 2y ＜ 0$”,故A正确.对于B,$f(x) = x - 2$定义域为$\mathbf{R}$,$g(x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$定义域为$\{ x|x \neq - 2\}$,定义域不同,不是同一个函数,故B错误.对于C,令$\sqrt{x - 1} = t(t \geq 0)$,则$x = t^{2} + 1$,函数$y = 2x + \sqrt{x - 1}$可变形为$y = 2t^{2} + t + 2$,图象的对称轴为直线$t = - \frac{1}{4}$,函数在$[0, + \infty)$上为增函数.当$t = 0$时,$y_{\min} = 2$,故函数的值域为$[2, + \infty)$,故C正确.对于D,由函数$f(x - 1)$的定义域为$[2,5]$得$1 \leq x - 1 \leq 4$,故函数$f(x)$的定义域为$[1,4]$,故D正确.

6.【题型四】(多选)下列函数值域是 $ ( 0, + \infty ) $ 的为 (AB)

A.$ y = x + 1 ( x ＞ - 1 ) $
B.$ y = x ^ { 2 } ( x ＞ 0 ) $
C.$ y = \sqrt { x ^ { 2 } - x + 1 } $
D.$ y = \frac { x + 2 } { x + 1 } ( x ＞ 0 ) $

答案： 6.AB【详解】对于A,因为$x ＞ - 1$,所以$y = x + 1 ＞ 0$,故A正确;对于B,因为$x ＞ 0$,所以$y = \sqrt{x^{2} - x + 1} = \sqrt{(x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$,故C错误;对于D,$y = \frac{x + 2}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x + 1}$,因为$x \in (0, + \infty)$,所以$x + 1 \in (1, + \infty)$,$\frac{1}{x + 1} \in (0,1)$,所以$y = \frac{x + 2}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x + 1} \in (1,2)$,故D错误.

7.【题型五】已知函数 $ f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - x + 5 $ 在 $[m,n]$ 上的值域为 $[4m,4n]$,则 $ m + n $ 等于 (D)

A.4
B.5
C.8
D.10

答案： 7.D【详解】$f(x) = \frac{1}{2}x^{2} - x + 5$的对称轴为直线$x = 1$,则$f(1) = \frac{1}{2} × 1^{2} - 1 + 5 = \frac{9}{2} \leq 4m$,解得$m \geq \frac{9}{8}$,则$f(x)$在$[m,n]$上单调递增,所以$\begin{cases}f(m) = 4m,\\f(n) = 4n.\end{cases}$即$\begin{cases}\frac{1}{2}m^{2} - m + 5 = 4m,\frac{1}{2}n^{2} - n + 5 = 4n.\end{cases}$方程$\frac{1}{2}x^{2} - x + 5 = 4x$的两个根,即$m,n$为方程$x^{2} - 10x + 10 = 0$的两个根,所以$m + n = 10$.

8.【题型二】函数 $ f ( x ) = \frac { 3 x ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - x } } + ( 2 x - 1 ) ^ { 0 } $ 的定义域为( - ∞,1/2) ∪ (1/2,1).

答案： 8.( - ∞,1/2) ∪ (1/2,1)【详解】由题意可知函数解析式有意义需$\begin{cases}1 - x ＞ 0,\\2x - 1 \neq 0.\end{cases}$解得$x \in ( - \infty,\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2},1)$.

9.【题型二】已知函数 $ y = f ( x - 1 ) $ 的定义域为 $[1,2]$,则函数 $ y = f ( 2 x - 1 ) $ 的定义域为[1/2,1].

答案： 9.[1/2,1]【详解】$\because$函数$y = f(x - 1)$的定义域为$[1,2]$,即$\leq x \leq 2$,可得$0 \leq x - 1 \leq 1$,$\therefore$函数$y = f(x)$的定义域为$[0,1]$,令$0 \leq 2x - 1 \leq 1$,解得$\frac{1}{2} \leq x \leq 1$,故函数$y = f(2x - 1)$的定义域为$[\frac{1}{2},1]$.

10.【题型三】已知函数 $ y = \sqrt { ( 1 - a ^ { 2 } ) x ^ { 2 } + ( a - 1 ) x + 1 } $ 的定义域是 $\mathbf{R}$,则 $ a $ 的取值范围是[-3/5,1].

答案： 10.[-3/5,1]【详解】当$1 - a^{2} = 0$时,可得$a = 1$或$a = - 1$,当$a = 1$时,$y = 1$符合题意;当$a = - 1$时,$y = \sqrt{- 2x + 1}$,显然不符合题意.当$1 - a^{2} \neq 0$时,由于定义域为$\mathbf{R}$,可得$\begin{cases}(a - 1)^{2} - 4(1 - a^{2}) \leq 0,\\1 - a^{2} ＞ 0.\end{cases}$解得$- \frac{3}{5} \leq a ＜ 1$.综上所述,$a$的取值范围是$[ - \frac{3}{5},1]$.